jueves, 18 de marzo de 2004
Sobre un tablero de 8x8 colocar la mayor cantidad de números consecutivos de 1 a n, de forma tal que:
1) Siempre que dos o más números estén en una misma línea (horizontal, vertical o diagonal) deben sumar lo mismo.
2) No pueden quedar números sueltos (no alineados con algún otro)
Les muestro un pequeño ejemplo que ustedes superarán rápidamente:
Aquí hemos colocado los números del 1 al 6. Las cuatro líneas que se forman suman 7.
¿Quién logra colocar la mayor cantidad posible de números?
Update:
Este problema, simple como parece, es de gran dificultad. Costó, pero se fue avanzando:
Ramtia logró colocar los números del 1 al 8.
David, del 1 al 11.
Ramtia del 1 al 13.
Itn, Ramtia y Hector del 1 al 14.
Itn tiene el Récord (¿hasta ahora?) con los números del 1 al 15.
¿Hasta aquí llegamos?
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35 comentarios:
Siguiendo tu tendencia. Llegamos hasta el ocho.
Los - son espacios en blanco
...7....
...2....
..1...8.
.63.....
........
..5.....
........
....4...
A lo mejor no se entiende muy bien, pero nos se hacerlo de otra manera.
siendo poco original
492
357
816
y todos los otros en blanco, suman un total de 15 en todas las direcciones.
Por cierto hay algun cuadrado de 8x8 que en todas sus direcciones sumen igual, seria lo maximo que se podria conseguir. Y su suma deberia dar 260.
Números alineados del 1 al 11 donde:
X => en blanco
D => 10
O => 11
Las rayas es para que puedan seguir el camino de los números alineados.
X 5 7 2 6 X X X
X X \ | X X X X
X X X 4 X X X X
X X X | \ X X X
X X X O X \ X X
X X / | X X D X
X / X | X X X 1
9 _ _ 3 _ 8 X X
Ramtia, revise tu último comment y verá que:
- El cuadrado de 3x3 no puede ser exactamente como lo pone.
- Y el cuadrado de 8x8 no cumple con las reglas de este acertijo.
Yo me muero con esto de dibujar y pensar al mismo tiempo, cuesta demasiado. Pero pregunto: ¿no se podrÃa hacer un prgoram que lo haga por nosotros? No tengo ganas de pensar, gracias, ya gasté todo en el colegio.
Ramtia: como ya dijeron, el cuadrado mágico no sirve ya que quedan alineados en diagonal números que no suman 15 (como el 3 y el 1 o el 9 y el 7)
Elessar: Tengo la teorÃa de que la inteligencia debe ser la única cosa que se gasta ¡cuándo no se la usa!
¿Solo llegan hasta el 11? No lo puedo creer.
Ya me di cuenta al poco de ponerlo, pero no pude rectificar ya mi error
Para resarcirme de mi error, parece que he hallado uno con los números del 1 al 13, donde:
10=A
11=B
12=C
13=D
X81C2-4X
XX\}XXDX
XXX3X/}X
XXX}/X}X
XXX5X\}X
XX/}XXAX
X/X}XXX6
9--7-BXX
espero que se entienda
Aporte a los resultados ya mostrados: colocar el cero en cualquier fila. Con ello agrega un número adicional.
Dice números del 1 a n, el cero no cuenta.
Ya sabemos que el cero no importa. Sin embargo, Ariel, piénsalo, no es tan trivial como ponerlo a cualquier fila, la mayoria de las posiciones no sirven.
Muy bueno, Ramtia, muy buena. Aunque a Markelo le parecÃan pocos 11, estoy seguro que te ha costado bastante encontrar esa 'peazo' solución.
Efectivamente es un "pedazo" de solución.
La que yo tengo también llega hasta los 13 números, aunque alguien me dijo (y es una persona a la que le tengo mucha confianza en cuestiones acertijeras) que se puede llegar a 14. No me lo demostró ni me lo mostró, pero...
Otra solución puede ser esta:
__ 06 __ __ __ __ __ __
__ 08 11 __ __ __ __ 01
__ 02 __ 03 05 __ __ 10
07 04 __ __ __ __ __ 09
__ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ __ __
__ __ __ __ __ __ 12 __
13 __ __ __ __ __ __ __
No lo digo por malo, pero no, gracias.
HabÃa entendido mal el problema, pensé que los número tenÃan que estar siempre alineados para todos los lados. Ahora que sé que no es asÃ, veo si algún dÃa me atrevo a hacer uno.
Ramtia, he tenido muy mala experiencia con las soluciones simétricas en este problema, no creo que me anime a resolverlos. Pero no parecÃa mala idea al principio.
Perdón, el valor mÃnimo serÃa
48+1+2+3+4+5=63
Atención!!! Comment solo recomendado para aquellos que tengan ganas de estrujarse la cabeza. El que avisa no es traidor.
Como dije, Ramtia, no creo que la simetrÃa permita grandes logros en este problema, aunque sà que encontré soluciones simétricas de 5 y 6 números, pero no más.
Sin embargo, me pareció interesante la idea de acotar los valores que tienen que sumar las lÃneas. Yo tengo una manera que acota mucho el rango de valores posibles y está demostrada.
Para verlo, lo mejor es con un ejemplo, el de 48 números de Ramtia, por ejemplo:
1. - Contamos el números de lÃneas de números. En este caso:
· 8 horizontales
· 8 verticales
· 18 diagonales (9 "/" y 9 "\")
· ____________________________
· 34 lÃneas en total
2. - Contamos las lÃneas en que interviene cada uno de los números. En este caso:
· 12 números intervienen en 3 lÃneas
· 36 números intervienen en 4 lÃneas
· __________________________________
· 48 números en total
Para verlo mejor:
3 3 . 4 4 . 3 3
. 3 4 4 4 4 3 .
. 4 4 4 4 4 4 .
4 4 4 . . 4 4 4
4 4 4 . . 4 4 4
. 4 4 4 4 4 4 .
. 3 4 4 4 4 3 .
3 3 . 4 4 . 3 3
3. - Contar la suma de los números ponderado por el números de lÃneas en las que intervienen. Como no sabemos que números van en cada casilla, buscaremos el mÃnimo (poniendo los números más altos en las casillas de tres) y el máximo (poniendo los múmeros más pequeños en las casillas de tres). En este caso:
· MÃnimo:
Del 1 al 36 en las casillas de 4
Utilizando la suma de números consecutivos y multiplicando por 4:
(1 + 36)/2*36*4 = 2664
Del 37 al 48 en las casillas de 3
(37 + 48)/2*12*3 = 1530
El mÃnimo es 2664 + 1530 = 4194
· Máximo
Del 13 al 48 en las casillas de 4
Utilizando la suma de números consecutivos y multiplicando por 4:
(13 + 48)/2*36*4 = 4392
Del 1 al 12 en las casillas de 3
(1 + 12)/2*12*3 = 234
El mÃnimo es 4392 + 234 = 4626
4. - Dividir las cuotas entre el número de lÃneas. En este caso:
MÃnimo: 4194 / 34 = 123,35 ~ 124
Máximo: 4626 / 34 = 136,05 ~ 136
Finalmente, queda acotado a (124, 136).
Siento los trastornos sufridos.
David, yo te tenia en una consideració muy alta, pero despues de toda esa explicación no puedo más que quitarme el sombrero y cerrar la boca que hace un cuarto de hora que no me vuelve al lugar.
BUENISSIMO TUS RAZONAMIENTOS!!!!!!!!!
No entendà nada, pero estoy seguro que tenés razón.
Gracias Ramtia, pero no se merecen preferirÃa sacar una solución de 14 (bueno me conformo con una de 13 como la tuya).
Elessar, ya sé que es duro de digerir, pero para ti? Inténtalo.
Excelente razonamiento. Estoy impresionado.
Me hubiera gustado tener algo más de tiempo este fin de semana para aportar algo más, o al menos para intentarlo... pero no fue el caso.
Igual no lo doy por abandonado.
Voy a seguir volviendo sobre el tema.
Lo entendà relativamente, pero no logro entender (no se me ocurrió otra palabra para evitar la repetición) qué es la "suma de números consecutivos" (quizá es una estupidez, y en realidad es sólo la suma de números consecutivos, pero en vez de sumar uno por uno, se hace por esa cuenta).
La fórmula para sumar una serie de números consecutivos es
(n x (n+1))/2
Por ejemplo, la suma de 1 a 10 es
(10x11)/2 = 55 (podés comprobarlo.)
La deducción de esta fórmula es muy linda y hay una anécdota (posiblemente apócrifa) de como Gauss la usó cuando era niño.
Escribimos los números de 1 a n en una hilera y, debajo, los número de n a 1.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
10 09 08 07 06 05 04 03 02 01
Vemos que la suma de cada columna es siempre 11 (n+1) y tenemos 10 columnas.
La suma total es 10x11=110 y lo dividimos por 2 para obtener lo que querÃamos.
Esto se generaliza para cualquier valor de n y, también para numeros consecutivos entre m y n (pero te la dejo para vos)
Ramtia:
¡¡¡BRAVO!!!
Con tus pistas resultó facil, pero tu ¿como lo has sacado?
Daré una pista más:
En una de la soluciones el 2 se suma por algún lado con todos los números menos con el 3 el 12 y el 10
En una noche de inspiración, porque aun tengo sueño acumulado de esta noche.
Por cierto, si lo que dices es cierto, que no lo dudo. Has hallado otra solución, porque mi 2 esta en una posición que solo sirve para la suma de una linea.
Gracias, Markelo. Ahora ya no sé qué escribir acá. Sigan leyendo como si esto que dije fuera una respuesta para el acertijo (obviamente, todos están de acuerdo, y me proclaman como Rey del Mundo).
Vaya. ¡Felicitaciones! (no, no son para vos elessar, lo lamento)
Justamente, ahora tengo la otra solución de 14 que me habÃan dicho. Se las muestro siguiendo el estilo de Ramtia:
x _ _ _ x x x x
x _ _ _ _ _ _ _
x _ _ _ _ _ _ _
x _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ x
_ _ _ _ _ _ _ x
_ _ _ _ _ _ _ x
_ x x x _ _ _ _
La suma de cada lÃnea es también 28
Según me dicen este método (de colocar los números contra el borde del tablero) sirve para otros tableros de lado par en los que se puede colocar entonces 2n-2 números.
Y ya que está, lo saco del anonimato.
Esta solución la encontró Hector San Segundo, un amigo agricultor de la provincia de Rio negro sobre el cual algún dÃa les hablaré más largo.
Markelo, dile a Hector San Segundo que existe al menos una solución con 15 pero no le enseñes esto:
xx xx xx 14 06 01 xx 08
xx xx xx xx xx xx xx 04
09 xx xx xx xx xx xx xx
xx xx xx xx xx xx 15 xx
xx xx xx 03 xx xx xx xx
xx xx xx xx xx xx xx 02
13 11 xx xx xx xx xx 05
07 xx xx 12 xx xx xx 10
Que se pase alguna noche sin dormir como el pobre Ramtia que es el padre de esta criatura, mi aportación solo fue encajar el 15 en el sitio que Ramtia habia dejado libre..., y hacer que sumen 29
Ramtia la mia de 14 era:
xx xx xx 14 11 01 xx 02
xx xx xx xx xx xx xx 06
03 xx xx xx xx xx xx xx
xx xx xx xx xx xx xx xx
xx xx xx 04 xx xx xx xx
xx xx xx xx xx xx xx 08
12 09 xx xx xx xx xx 07
13 xx xx 10 xx xx xx 05
¿Como era la tuya?
La mejor forma de ver lo que dice sascuatsh es medir el margen de error que se tiene en cada caso.
La pelota de 10 puede desviarse hasta 30 cm del centro de su hueco de 50.
En cambio la de 30 como se desvie más de 10 del centro no entrará en su hueco de 70.
En el asunto del dibujo de la revista, para ver mejor su trampa tomemos en lugar del centro de la pelota el punto que esta en el extremo derecho en la pelota de 30; si apuntamos con este punto y la pelota pasa por la derecha del poste acertaremos si ese punto esta a menos de 30 cm del extremo derecho del poste y si la pelota pasa por el lado izquierdo ese punto tiene que tocar el poste. Asà que la diana para ese punto es 40 cm lo mismo ocurre para cualquier punto de la pelota. Lo que no se puede hacer es considerar el punto mas a la izquierda en la izquierda y compararlo con el punto más a la derecha en la derecha.
Por error se coló el comentaro anterior en el sitio que no corresponde. sorry..:-¡
Para itn. Y todos aquellos interesados en este problema.
Estoy intentando superar la marca de 15, pero siempre me falla alguna de las sumas, si proximamente no lo saco, te pondre la distribución de los números para haber si le das el golpe de gracia y lo conseguimos.
Mejor dicho lo consigues tu, porque yo llevo varias horas sin exito.
Si, es un problema interesante y dificil, precisa de mucha paciencia e intuición. Durante unos dias le estuve dando vueltas al planteamiento de David de los 48 números, pero es de enorme dificutad.
No esta mal ir a por 16
Si quieres y puedo ayudar, cuenta conmigo.
Olvide decir que en la primera solución puedes utilizar tanto A como B, pero no los dos a la vez
quisiera que me dieran la solución de lo siguiente:
Se tiene un cuadro de 4x4;colocar los números del 1 al 16 de tal forma que las sumas horizontal, vertical y diagonal sean iguales.
espero su pronta respuesta, de acuerdo a lo enunciado anteriormente.
gracias
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