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El 3816547290 fue nuestro octavo número extraordinario.
Es divisible por 10. Si tomamos las nueve primeras cifras es divisible por 9, y si tomamos las primeras ocho, siete, seis, etc, el número será divisible por 8, 7, 6, etc, respectivamente.
Es el único número que tiene esa propiedad.
Ahora bien; si obviamos la restricción de que los dígitos deben ser distintos, entonces tenemos una gran variedad de números conocidos como "polidivisibles"
¿Será posible obtener un número tan grande como se quiera?
La respuesta es que no. El más grande posible tiene 25 cifras y es justamente nuestro número extraordinario de hoy:
3608528850368400786036725
Como pueden apreciar
- 3 es divisible por 1
- 36 es divisible por 2
- 360 es divisible por 3
- ...
- 3608528850368 es divisible por 13
- 36085288503684 es divisible por 14
- ...
- 36085288503684007860367 es divisible por 23
- 360852885036840078603672 es divisible por 24
- 3608528850368400786036725 es divisible por 25
Ustedes rápidamente podrán comprobar los casos intermedios que no puse.
En la wikipedia pueden encontrar más datos acerca de los números polidivisibles
También pueden ver la lista completa de los 20456 números polidivisibles.
Este número fue un aporte de Emilio Martín desde Alicante. (Gracias)
Hoy volvemos con los números primos muy grandes
.
Y nuestro invitado de hoy es el 619737131179
Es el mayor número primo tal que, tomando cualquier par de dígitos consecutivos, forma un número primo distinto cada vez:
Podrán comprobar que son primos los números 61, 19, 97, 73, 71, 13, 31, 11, 17 y 79.
¿Y que pasa si queremos tomar los números de tres en tres?
En este caso, el mayor que podemos conseguir es el 9419919379719113739773313173
Podrán comprobar también que cada trío de números consecutivos entre sus 28 dígitos tambien es primo.
Como no podía ser de otra manera, estos extraordinarios números y otros mayores han sido estudiados y catalogados en la enciclopedia de secuencias.
Este número ha sido aportado por nuestro habitual colaborador Merfat
El número de hoy es el 15873
A simple vista, no parece ser nada raro, pero miren lo que pasa cuando lo multiplican por 7 o múltiplos de 7:
15873 x 7 = 111111
15873 x 14 = 222222
15873 x 21 = 333333
15873 x 28 = 444444
15873 x 35 = 555555
15873 x 42 = 666666
15873 x 49 = 777777
15873 x 56 = 888888
15873 x 63 = 999999
Si continuamos, hay que hacer un cálculo adicional: Tomar la primer cifra y sumársela a la última:
Vean:
15873 x 70 = 1111110
15873 x 77 = 1222221
15873 x 84 = 1333332
15873 x 91 = 1444443
15873 x 98 = 1555554
15873 x 105 = 1666665
Les dejo para ustedes ver que pasa con números más grandes.
Salvo el 11, no hay ningún número primo capicúa que tenga una cantidad par de cifras. Ustedes se darán cuenta del por qué.
Hay muchos primos capicúas o palindrómicos: Por ejemplo 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353,...
Un
número verdaderamente extraordinario es el menor primo palindrómico y
a la vez pandigital (que contiene todos los dígitos del 0 al 9). es el
1023456987896543201
¿No es una belleza?Este número me fue propuesto por Merfat quien a su vez me comenta que está mencionado en el libro "Puzzles from other Worlds" de Martin Gardner
Todos conocemos, y hemos repetido hasta el hartazgo, que el orden de los factores no altera el producto.
Es una verdad tan cierta como aburrida.
Sin embargo, "estirando" un poco esa verdad, nos encontramos con sorpresas inesperadas.
La siguiente multiplicación parece común y corriente:
203313 x 657624 = 133703508312
pero, y aquí está lo extraordinario, si invertimos el orden de los dígitos de la multiplicación ¡el resultado sigue siendo el mismo!
313302 x 426756 = 133703508312
Update:
CarCar encuentra y agrega nuevos casos:
4006 x 3002 = 6004 x 2003 = 12026012
4132 x 4628 = 2314 x 8264 = 19122896
210304 x 652043 = 403012 x 340256 = 137127251072
212343 x 655504 = 343212 x 405556 = 139191685872
214544 * 657613 = 445412 x 316756 = 141086923472
Esta curiosidad la encontré en una revista Juegos para gente de mente.
Seguramente no es el único caso. Si usted encuentra otras multiplicaciones similares, envíemelas por mail y publicaré las más interesantes
Siempre me han llamado la atención los números pandigitales, sobre todo si además tienen alguna otra propiedad, por ejemplo aquellos que son a la vez cuadrados y pandigitales.
Hay varios.
El menor con los números del 1 al 9 es el
139854276 = 118262
El mayor es el
923187456 = 303842
Pero no es necesario que nos detengamos aquí. Podemos pedir números que tengan los dígitos del 1 al 9 dos veces cada uno.
El menor y el mayor son:
112345723568978496 = 3351801362
998781235573146624 = 9993904322
Y ya que llegamos hasta aquí, por qué no pedir que tengan los números del 1 al 9 tres veces cada uno.
El menor y el mayor ahora son:
111222338559598866946777344 = 105462001953122
999888767225363175346145124 = 316210178081822
También podemos pedir que tengan los dígitos del 0 al 9.
En este caso, el menor y el mayor son:
1026753849 = 320432
9814072356 = 990662
No encontré con dos y tres repeticiones de los dígitos del 0 al 9 ni con cuatro o más repeticiones. Tal vez alguno logre encontrarlos en la web o tenga la habilidad suficiente para escribir un programa que los calcule. Si es así, envíenmelos por mail y los publicaré con gusto.
Estos resultados fueron publicados por primera vez, que yo sepa, por Joseph S. Madachy
Update:
RealHomero escribió un programita y encontró con dos repeticiones de los números del 0 al 9. Son:
10012495377283485696 = 31642527362
99887301530267526144 = 99943634882
Quizá alguno pueda verificarlos.
¿Y con tres repeticiones no se anima nadie?
El número 1729 tiene, como todos los números que aparecen aquí, una propiedad que lo vuelve único y extraordinario.
Quizá en este caso no les parezca tan sorprendente, pero el 1729 viene acompañado, además, de una pequeña historia que es el motivo por el que está incluódo aquí.
Cierta vez, el matemático Godfrey Harold Hardy tomó un taxi en Londres para dirigirse al hospital a visitar a su amigo el matemático Ramanujan
Le llamó la atención el número del taxi que había tomado: el 1729. Tanto fue así que al llegar junto a la cama de Ramanujan le expresó su desilusión acerca de este número. Era, según él, un número aburrido, agregando que esperaba que no fuese un mal presagio.
No, Hardy, dijo Ramanujan, es un número muy interesante. Es el número más pequeño expresable como la suma de dos cubos positivos de dos formas diferentes
En efecto:
1729 = 13 + 123 = 93 + 103
Este número ha pasado a la historia como el número de Hardy-Ramanujan
El número 3816547290 tiene algunas propiedades que lo vuelven único y extraordinario:
- Es un número "pandigital" (formado por los diez dígitos)
- 3 es divisible por 1
- 38 es divisible por 2
- 381 es divisible por 3
- 3816 es divisible por 4
- 38165 es divisible por 5
- 381654 es divisible por 6
- 3816547 es divisible por 7
- 38165472 es divisible por 8
- 381654729 es divisible por 9
- 3816547290 es divisible por 10
Este número es un aporte de Merfat
Los números capicúas o palindrómicos, ejercen de por si un gran atractivo sobre las personas. ¿Quién no ha comenzado alguna vez a coleccionar boletos capicúas?
Tanto más interesante resulta cuando un número capicúa resulta ser, además, cuadrado perfecto. Hay muchos y no les será difícil encontrarlos.
Pero si, además de capicúa y cuadrado, resulta que cuando lo giramos 180º, leemos otro número, también capicúa, podemos decir que cae en la categoría de extraordinario.
Es el caso del 698896 que es el resultado de hacer 8362
Este número es un aporte de Merfat, quien a su vez lo tomó de esta página
Un núºmero muy común y usual es el 365.
Estamos tan acostumbrados a usarlo como la cantidad de días de un año que tal vez no conozcamos una bella y curiosa propiedad que posee.
El número 365 puede expresarse como la suma de los cuadrados de números consecutivos de la siguiente manera:
365 = 102 + 112 + 122 = 132 + 142
Otras formas curiosas (aunque no tan extraordinarias) de obtener 365 son:
365 = 71 + 72 + 73 + 74 + 75
365 = 121 + 122 + 123 - 1
365 = 12 + 22 + 42 + 62 + 82 + 102 + 122
365 = 22 + 192
365 = 42 + 52 + 182
365 = 32 + 62 + 82 + 162
365 = 12 + 32 + 72 + 92 + 152
Y seguramente de muchas otras interesantes maneras
A veces, hay números muy extraños y elaborados que poseen alguna cualidad que los hacen únicos. Sin embargo, a mi más me sorprenden los números aparentemente sencillos que poseen propiedades inesperadas.
Es el caso del 153:
153 es igual a la suma de los 17 primeros números naturales:
(1+ 2 + ... + 16 + 17) = 153
153 es igual a la suma de los cubos de sus dígitos:
(1^3 + 5^3 + 3^3) = 1+ 125+ 27 = 153
153 es igual a la suma de los factoriales de los 5 primeros números naturales:
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 = 153
Por último (y esto tiene que ver con los atractores) si partimos de cualquier número múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus dígitos para obtener un segundo número con el cual repetimos el procedimiento, tarde o temprano, al cabo de un número finito de pasos, llegaremos a 153
Un número que siempre me ha llamado la atención es
exp(Pi*sqrt(163))
Conocido como el número de Ramanujan
De ella participan e (un número trascendente), Pi (otro número trascendente) y la raiz cuadrada de 163 (un número irracional)
Sin embargo, la expresión da como resultado
262537412640768743,999999999999
Del cual podríamos afirmar que es "casi" entero :-)
Lamentablemente, luego del doceavo 9... sigue un 2.
Hoy les traigo un simple pero muy curioso número del que seguramente ya escucharon hablar: el 6174
¿Qué tiene de extraordinario?
Elijan un número de 4 cifras, no todas ellas iguales.
Ordenen sus cifras de mayor a menor y réstenle el número con las cifras ordenadas de menor a mayor. Apliquen el mismo procedimiento al resultado obtenido.
Resulta que en un máximo de 7 repeticiones, siempre llegamos a 6174.
Un ejemplo:
Elegimos el 6773.
Hacemos 7763 - 3677 = 4086 y seguimos:
8640 - 0468 = 8172
8721 - 1278 = 7443
7443 - 3447 = 3996
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174
Y aquí termina ya que el 6174 pasado por este proceso, vuelve a generarse a si mismo
Este numero es conocido como la constante de Kaprekar
Prueben ustedes con otros números.
¿No es extraordinario?
El número 12345678987654321, aparte de su linda simetría y sus dígitos ordenados en forma ascendente primero y luego descendente, es un número cuadrado.
Es el resultado de hacer 111111111 x 111111111
9814072356
Este bonito número es el mayor número cuadrado que puede obtenerse utilizando los diez dígitos del 0 al 9 una vez cada uno y sin repetir.
Este solo hecho bastaría para hacerlo figurar aquí, pero hay más.
9814072356 es el cuadrado de 99066, otro bonito número que tiene la particularidad de leerse igual si lo giramos 180 grados.
Hace un tiempo me había prometido que no añadiría nuevas categorías al blog ya que después se me hace difícil mantenerlas vivas a todas (ya me pasa con algunas)
Sin embargo, voy a incumplirme a mi mismo iniciando otro tema: "números extraordinarios"
No se va a tratar de acertijos, sino de la simple acumulación de números que, por uno u otro motivo, me llaman la atención.
Algunos tendrán que ver con profundos enunciados matemáticos, otros serán simples curiosidades, pero, en todos los casos, son números que tienen más que ver con el placer "estético" que me producen que con algún conocimiento intelectual.
En esta categoría voy a deshabilitar los comentarios ya que la idea es que los números hablen por si solos. Espero que los disfruten como yo.
El título de "Números extraordinarios" es un vil plagio (debo reconocerlo) a la sección "Palabras extraordinarias" que lleva adelante Iván
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