Atractores

Aprovechando que varios ya enviaron sus respuestas al PQRST, les traigo uno de esos sencillos delirios numéricos que a veces me atacan.

Un par de post atrás, les hablé del 6174. Lo extraordinario de él es que luego de aplicar repetidamente una cierta función a números de cuatro cifras, siempre llegamos a este único resultado.

Sin embargo, es bastante común que, al aplicar varias veces ciertas operaciones a algunos números llegamos siempre a los mismos números o a una serie circular de números que se repiten una y otra vez. Es como si estos números atrajeran a los demás. Los podemos llamar "Atractores"

Un ejemplo muy simple es la función "suma de sus dígitos"
Si tomamos un número de cualquier cantidad de cifras, las sumamos, y hacemos lo mismo con el resultado, tarde o temprano terminamos llegando a uno de nueve resultados posibles: Los números del 1 al 9. En este caso, los nueve valores son equiprobables (esta palabra tal vez no sea muy exacta y alguno me la reproche, pero creo que se entiende lo que quiero decir)

¿Qué pasa si tomamos la función "producto de sus dígitos"?
Por ejemplo, partiendo del 1373, hacemos:

1x3x7x3 = 63; 6x3 = 18; 1x8 =8

¿Cuáles son los resultados posibles? ¿Son todos igualmente probables o hay números que aparecen más que otros?

Resultados más interesantes se obtienen si usamos alguna función más exótica, por ejemplo "cantidad de letras de sus nombres"

Si partimos de 23, hacemos:

veintitrés tiene 10 letras
diez tiene 4 letras
cuatro tiene 6 letras
seis tiene 4 letras

y aquí entramos en un ciclo donde se repite 4-6. Son atractores del 23
¿Qué otros atractores hay aplicando esta función?
4-6 es un ciclo formado por dos números: ¿Cuál es el atractor de un solo número? ¿Hay ciclos formados por más de dos números?

Si alguno encuentra alguna función que de resultados "interesantes", cuéntelo por aquí.

Update
Muy interesantes y jugosos los comentarios. No creí que alguien se fuera a enganchar con esto.

¿Ninguno probó con otras funciones?

Les dejo otras tres que estuve probando y producen lindos resultados:

Suma de los dígitos del número mas cantidad de cifras del número: Al final produce un ciclo repetitivo con los números del 3 al 10.

Suma de los factores primos del número: Aquí la cosa cambia y los atractores son infinitos. Son los números primos. Esto se presta para hacer algunas preguntas (que parecen complicadas pero terminan siendo simples) Por ejemplo: ¿De que número hay que partir para llegar al atractor 43? ¿Y al 91?

Lo último que estuve probando es una función parecida a la del 6174, pero ligeramente diferente que termina produciendo otros resultados.
Tomamos un número de 4 cifras, lo invertimos y restamos el menor del mayor Hacemos lo mismo con el resultado. De ser necesario, completamos con ceros a la izquierda.

Parece ser que siempre acabamos en un ciclo repetitivo de 3 o 4 números. Los pocos casos que probé siempre me terminaron en ciclos diferentes.

Quizá alguno quiera explorarlo más a fondo.

PQRST 12

Llegó la hora de la revancha.

Este Sábado 22 comienza una nueva edición del tradicional torneo PQRST organizado por Cihan Altay.

Una semana para resolver 10 acertijos muy buenos y muy difí­ciles.

Está en inglés, pero suele haber una traducción al español en la misma página.

Ejerciten sus neuronas. Aní­mense a participar.

Nota:
Para que en esta edición no hagamos papelones, recuerden que la participación es individual. No hagan comentarios sobre los problemas durante el transcurso del torneo.
Eso si: en cuanto la competencia termine, los espero por aquí­ para comentar, resolver, criticar, llorar :-), razonar y todo lo que les ocurra.

Suerte a todos.

Update:


¡Ya comenzó!
Ya terminó.

Números extraordinarios III

Hoy les traigo un simple pero muy curioso número del que seguramente ya escucharon hablar: el 6174

¿Qué tiene de extraordinario?

Elijan un número de 4 cifras, no todas ellas iguales.
Ordenen sus cifras de mayor a menor y réstenle el número con las cifras ordenadas de menor a mayor. Apliquen el mismo procedimiento al resultado obtenido.
Resulta que en un máximo de 7 repeticiones, siempre llegamos a 6174.

Un ejemplo:
Elegimos el 6773.
Hacemos 7763 - 3677 = 4086 y seguimos:
8640 - 0468 = 8172
8721 - 1278 = 7443
7443 - 3447 = 3996
9963 - 3699 = 6264
6642 - 2466 = 4176
7641 - 1467 = 6174

Y aquí termina ya que el 6174 pasado por este proceso, vuelve a generarse a si mismo

Este numero es conocido como la constante de Kaprekar

Prueben ustedes con otros números.

¿No es extraordinario?

Mini crucigrama en blanco IX

Como he estado poniendo pocos acertijos con palabras y como el anterior les costó un poco, les propongo otro de estos engendros.

Esta vez es tan, pero tan fácil que ni siquiera les doy todas las definiciones. Únicamente pongo las verticales y, por supuesto, desordenadas.

Obviamente, en horizontal tienen que quedar formadas correctas palabras castellanas.

• Pronombre personal en desuso por "se".


• preposición que indica bajo o debajo de.


• Interjección usada para indicar la risa, la burla o la incredulidad. Usase por lo general repetida.


• Interjección usada para preguntar, llamar, despreciar, reprender o advertir.


• Sufijo. En química orgánica, forma nombres de compuestos que contienen hidroxilo, especialmente alcoholes y fenoles.


• Artículo indeterminado En singular masculino. Puede usarse con énfasis para indicar que la persona o cosa a que se antepone se considera en todas sus cualidades más características.

Mini crucigrama en blanco VIII

Vuelvo con uno de estos tradicionales mini crucigramas que alguna vez me hicieron famoso.

Es tan, pero tan fácil, que las definiciones se las doy mezcladas.

• Interjección usada en algunos lugares de América para interrogar.


• sufijo. En adjetivos cultos, en su mayoría heredados del latín, pero también en otros formados en español, generalmente indica relación o pertenencia.


• interjección usada para manifestar muchos y muy diversos movimientos del ánimo, y más ordinariamente asombro, pena o alegría.


• interjección usada para denotar alguna resolución de la voluntad, o para animar, estimular o excitar. Usase también repetida.

Sala de recepción

Sigo con los acertijos "prestados"
El último libro que me compré se llama "Situaciones problemáticas" de J.A.H Hunter, publicado por Ediciones de Mente.

Es un divertido libro con 150 problemas de ingenio matemático, aunque presentados de forma amena. Son del tipo de acertijos que se pueden resolver planteando correctamente una ecuación, aunque, claro, no siempre es tan simple hacerlo.

Para muestra, uno que me gustó:

-¿Cuándo piensas tener terminada la sala? -Preguntó Tiberio- Ahora solo parece un granero rectangular.
-La gran duda está en las baldosas -dijo Gregorio sonriéndose- Tengo que decidir entre baldosas cuadradas de 15 cm de lado a $ 0,19 la baldosa, o bien baldosas cuadradas de 20 cm de lado a $ 0,29. No hay nada de desperdicio en ningún caso, y Graciela prefiere las más pequeñas, pero al final me costarí­a $ 33,11 más

¿Cuáles son las dimensiones de la sala?

Como siempre, cuenten como lo resolvieron,

Encadenados II

En realidad, este deberí­a haber sido el "Encadenados I" ya que es más fácil que el acertijo anterior. Además, aquí­ no hay presos ni cadenas. El acertijo es el clásico y conocido de "Las colegialas" y también está comentado en el libro de Gardner "Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas"

Lo pongo aquí­, ya que varios quedaron disconformes con la resolución por medio de ruedas giratorias.
Este problema es más fácil y puede resolverse rápidamente con un poco de tanteo. La idea es que logren imaginar de que manera está construida la única rueda que nos permite encontrar todas las ternas.

Cada semana, las 9 niñas de un internado son sacadas a pasear. En cada paseo son agrupadas de tres en tres.
¿Es posible agrupar las colegialas para que al cabo de 4 semanas ningún par de niñas se haya repetido en alguna de las ternas?

Obviamente si es posible y ustedes deben mostrar como.
A diferencia del problema anterior, aquí­ no influye la posición. Si la primer semana pasearon juntas las niñas 1, 2 y 3, ninguna de las tres puede volver a pasear juntas en las tres semanas restantes.

La rueda "combinatoria" tiene una pequeña particularidad que no les comento por ahora para ver si ustedes lo resuelven de otra manera.

Cuando lo tengan listo, pueden probar con 15 niñas repartidas en ternas durante 7 días.

Encadenados

El siguiente problema pertenece a Henry Ernest Dudeney, el gran creador inglés de acertijos. Yo lo tomé del libro de Martin Gardner, "Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas", Editorial Gedisa.

Éranse una ves nueve presos peligrosos que debí­an ser cuidadosamente vigilados. Cada dí­a de la semana eran sacados a hacer ejercicio, esposados unos a otros, como se indica en el esbozo que hizo uno de los guardianes.

1-2-3
4-5-6
7-8-9

En ningún dí­a de la semana podí­an ser encadenados los dos mismos hombres.
En el esbozo se muestra la forma en que fueron sacados el dí­a Lunes.

¿Será posible repartir a los 9 hombres en trí­os para los cinco dí­as siguientes?

Se entiende que el 1 ya no puede ser encadenado junto al 2, ni por la izquierda ni por la derecha. El 2 no puede volver a ser encadenado ni con el 1 ni con el 3. En cambio, el 1 y el 3 si pueden ser encadenados juntos.

Update:
A Pedido de Jean Paul, les comento la solución que da el libro.

En él no se da una explicación de por qué funciona. Aparentemente, este método sirve para otros problemas similares. La condición del "prisionero central" obliga a utilizar dos ruedas en vez de una.

Un par de ruedas Lullianas podrían ser las siguientes: (click para agrandar)

Cada disco se hace girar en sentido horario, por ejemplo, a razón de tres pasos por vez. En cada paso, los vértices de los tres triángulos generan una terna. Cada terna ha de tener en el centro el número indicado con el asterisco.

Cada disco genera tres grupos:

día 1    día 2    día 3
413       746      179
276       519      843
598       832      265

día 4    día 5    día 6
124       457      781
739       163      496
586       829      253

La disposición para el primer día no es igual a la dada, pero se lo puede modificar fácilmente.
Cada grupo es cíclico en el sentido de que si se le suma 3 (módulo 9) al primer trío, obtenemos el segundo, si se lo sumamos al segundo, obtenemos el tercero y del tercero volvemos al primero.

Como para ir terminando, les comento que Dudeney propuso disponer 21 presos durante 15 días en las mismas condiciones, un problema difícil, para mantener al lector embebido durante los meses de invierno. :-)