El problema que hoy les propongo lo vi hace mucho tiempo en una revista Humor y Juegos. Lamentablemente no recuerdo el autor. Si alguno lo sabe, el dato será bienvenido.
¿Qué es más fácil?
- ¿Pegarle a un poste de 30 cm de ancho con una pelota de 10 cm de diámetro? o
- ¿Pegarle a un poste de 10 cm de ancho con una pelota de 30 cm de diámetro?
Se aceptan respuestas lógicas, razonadas, fundamentadas, intuitivas y / o azarosas.
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84 comentarios:
Es bueno el problemita
bueno, algunos dibujitos no salieron como esperaba pero creo que se entiende
Comentarios a la solución de Santiago:
1. - No conozco esa fórmula del área de proyectil de la esfera: pi*r3
Yo conozco el área superficial: 4*pi*r2.
2. - Supongo que según tu razonamiento de dividir el área de impacto por la mitad (que no estoy de acuerdo por no ser todos los puntos de la superficie cilÃndrica equiprobables de ser "impactados") también deberÃas dividir el área del proyectil entre dos.
3. - Como tu dices las comparativas tendrÃan que ser si a caso con los mayores resultados. Sino estas diciendo que para que sean iguales las probabilidades, encima que tienes una pelota más pequeña me reduces es tamaño de la diana. Intuitivamente no es lógico.
Comentarios a la solución de Sascuatsh
1. - Ignoras el desvÃo vertical de la pelota. Esto se puede hacer si la altura del poste fuera infinita. Que no creo que fuese una buena suposición. Cualquier altura fija para los dos postes inferior a infinito, favorece a la pelota grande.
Te sugiero que lo vuelvas a calcular, pero teniendo en cuenta el ángulo de apertura vertical.
2. - También ignoras la distancia desde donde se lanza el proyectil. Al pensar los dibujos realizas proyecciones ortogonales desde el infinito y ignoras el volumen de los cuerpos. De todas formas esta suposición parece bastante más aceptable que la otra.
Yo haré la suposición de que quien lanza es una persona.
En base a esto yo recuerdo una pelÃcula, me parece que es Braveheart, donde Wallas al principio de la pelÃcula se encuentra con un amigo superbestia que lanza piedras de 50 ó 70 kilos. Hacen un pequeño concurso y por supuesto Wallas pierde.
Pero Wallas le dice: ¿SerÃas capaz de darle al enemigo? Y se pone a unos 10 metros. El amigo superbestia coge la 'peazo' piedra y se la tira a Wallas. Wallas no se mueve ni un pelo pero la piedra ni le roza.
Entonces Wallas coge una piedra del tamaño de un puño y se la tira a la cara. El amigo superbestia cae redondo del pedrazo en toda la nariz.
Moraleja: incluso a tamaño de postes parecidos es más fácil atinar con una piedra pequeña.
Yo pienso igual que David, en cuanto a que si tienes que lanzar la pelota con la mano, es más facil acertar con la pelota pequeña.
Pero si tienes que chupar la pelota, parece que es más facil acertar al palo con la más grande, porque las pelotas pequeñas son objetos de dificil control
Para mi es más facil apuntar pateando una pelota más chica... me baso en mi experiencia jugando al fútbol nada más.
El enunciado no dice que sea con el pie, pero igual creo que con la mano pasa lo mismo. Es más controlable una pelota chica.
Dicho sea de paso, me encantó la anecdota de David sobre BraveHeart... Aparte si alguien sabe sobre punterÃa es David (sino pregúntenle a Goliat...)
Estoy seguro, no me pregunten por qué, que esto es un cazabobos (obviamente, no es un cazabobos, no más para llevarme la contra).
Me va a costar preguntarle a Goliat, creo que se murió, me parece haberlo visto el otro dÃa en el diario (en la parte de obituarios, obviamente).
david, el desvio vertical era parte de las hipotesis simplificativas, pero se me paso y la omiti.
agrego esa hipotesis: los tiros se realizan en un mismo plano.
despues con respecto a la distancia desde donde se lanza el proyectil no influye en el problema (siempre y cuando pensemos que los tiros son rectos y no tiros balisticos) ya que lo unico que cambia en el caso de cambiar la distancia es el angulo de apertura de un tiro bueno, cosa que no influye en mi deduccion, para cualquier distancia siempre tenemos un espacio de 40cm al nivel del poste que nos da un tiro acertado. los 40 cm se mantienen constantes para cualquier distancia, lo unico que cambia es el angulo de apertura del tiro.
Tomemos en cuenta el centro de la pelota y el del poste. La mayor distancia a la que pueden estar para que se de el golpe es la mitad del ancho de uno más la mitad del de la otra (para que se toquen apenas). Es decir, en el caso de la pelota de 30 y el poste de diez, 15+5=20 cm. Ésto para los dos lados, derecha e izquierda, del poste (si tiramos con el poste contra la pelota es al revés) es decir 40 cm en total donde puede ir el centro de la pelota para que el disparo sea poste. Si el poste es el de treinta y la pelota de diez tenemos 5+15=20 cm. es decir, 40 en total. Que es exactamente lo mismo. Entonces serÃa igual de fácil... si tirara una máquina, pues resulta que una pelota de 30 cm de ancho es más fácil de controlar que una de 10, que es más ligera, y entonces es más fácil tirar con la de 30. Si pesaran lo mismo, la de 10 sufrirÃa menos el efecto del viento, por tener menor superficie de contacto, y esa serÃa la buena. Ahora, suponemos que los postes son del mismo material y forma ¿verdad?, porque a un poste cuandrado es más fácil darle que a uno cilÃndrico, y...
y estando en un mismo plano, por supuesto, y que sea plano, es decir, que la cancha no esté inclinada hacia la porterÃa ni viceversa. Y que se tire con los pies, sin fricción, etc etc etc
la diferencia radica en que la revista para afirmar sus 70 o 50 cm toma puntos distintos de la pelota en su medicion.
en cambio yo uso siempre el desplazamiento de un unico punto de la pelota.
fijence que justamente:
40+10=50
40+30=70
donde justamente 10 y 30 son los diametros de las pelotas en respectivos casos.
Estoy con sascuatsh y santiago.
Supongamos que soy un tirador muy malo (hecho real mas que suposicion), y tiro la pelota en cualquier direccion.
Suponiendo que todos los movimientos posibles esten comprendidos en un plano (el piso, por ejemplo), todas las direcciones angulares de mis tiros son equiprobables.
Si a una distancia L de donde tiro tengo un poste de ancho A, la probabilidad de acertarle estara dada por el cociente entre el angulo de los tiros acertados sobre todos los angulos posibles.
Haciendo un poco de cuentas, el angulo de los tiros acertados es 2*Asen((A/2)/L)+2*Asen(R/L), donde asen es el arco seno.
Tomando la aproximacion de L>>R (pongamosle, L mayor a 3 metros), podemos escribir eso como:
(A+2R)/L, por lo que la probabilidad de acertar será de ((A+2R)/L)/(2*PI).
Fijense que A+2R, para las dos combinaciones planteadas, es de 40 cm.
Por lo que la probabilidad es la misma.
1ro: es discutible la hipotesis de descartar los movimientos de la pelota "hacia arriba o hacia abajo". Si se los incluye, y los palos son infinitamente largos, el resultado es el mismo.
Si los palos tienen el mismo largo, podemos hacer el mismo razonamiento que antes, y nos va a dar que la pelota mas grande tiene mas probabilidad de pegarle al poste.
Markelo, no nos vuelvas a hacer esto... que dolor de cabeza me está entrando.
Sencillamente: con una pelota grande hay que apuntar bien de todas formas. Con un palo grande no hay que apuntar tanto. Por lo tanto, juguemos con pelotas de ping pong.
¿Es lo mismo si le pegamos con la mano al poste y después le pegamos a la pelota? ¿Cuál serÃa la probabilidad de que eso nos salga mal? (Estoy hablando de Yo y mi amigo Mayestático.)
hola.
yo sólo soy la postera.
para patear, pregunten a markelo.
y para hacerla girar, sólo me gusta racing.
elessar lo de mayestático era para itn.
no usurpemos privilegios.
(dónde andará itn, me pregunto)
buenas tardes.
¿Mayéstatico? ¿Quién dijo eso? (A ver, si alguien borra rápido lo de arriba asà no me culpan de ladrón. Pini, votame para Rey del Mundo, prometo varias cosas, pero ahora no me las acuerdo.)
Elessar, ¿Cuando has visto un rey votado?
O lo heredas o lo usurpas, tu decides. Ahora, si consigues que el Papa te bendiga, hasta emperador sales.
Pero no es un rey común, es El Rey del Mundo. Yo sólo querÃa que todo esto quede democráticamente, pero me parece que le voy a tener que usurpar el trono a alguien. Veremos... (Quizá Emperador del Mundo queda más pegadizo y me sirve para el marketing...)
santiago, tranquilo.
elessar es un usurpador del mayestático y ahora del reino.
ojo, que puedo votarte para la primavera.
pero...vos me votás?
ahora que tengo nuevo castillito...
me habÃa equivocado de domicilio.
ahora creo que lo anoté bien.
veamos.
¡Pini!
Y yo preguntando ¿para cuándo?
Ya voy.
Hola pini estoy por aquà , haces bien de ser la “portera postera†porque este markelo es malo y nos quiere confundir....
El objetivo es un punto = el centro del poste
Del pleno absoluto (el centro del balón impacta en el centro del poste) hasta el fallo ¿qué distancia hay en cada caso.?
La misma, por eso mi opinión es que e indiferente.
El dibujito de la revista nos engaña porque hace ver que representan todos los puntos donde si se apunta se hace blanco con cada pelota, pero no es asi.
Los puntos en los que se hace diana en cada caso son el tamaño del poste más el radio de la pelota por cada lado del poste: 30+5+5=40 para la pelota de 10 y 10+15+15=40 para la de 30.
Si suponemos que la "facilidad" viene dada por el tamaño del blanco, creo que es "igual de fácil" con una pelota de 10 cm. o con una de 30 cm. En ambos casos habrá que "acertar" a un blanco de 40 cm. de ancho. Me explico.
Cuando golpeamos a una pelota, lo que dirigimos en realidad es su centro de gravedad. Obviamente, si la pelota es más grande tendremos más posiblidades de acertar a un determinado blanco... pero esa es otra historia.
Para golpear un poste de 30 cm. de ancho con una pelota de 10 cm de diámetro deberemos "apuntar" a un espacio de 40 cm, de modo que el centro de gravedad pase por él:
/ \| |/ \
\ /| |\ /
|-40 cm.--|
Y para golper a un poste de 10 cm. de ancho con una pelota de 30 cm. de diámetro debemos apuntar, igualmente, a un espacio de 40 cm.
/ \| |/ \
| | | |
\ /| |\ /
|-40 cm.--|
Creo que el "truco" de la solución de Markelo está en que a priori puede parecer más fácil acertar (con todo el balón) a una tabla de 70 cm. que a una tabla de 50 cm., pero es igual de fácil acertar (con todo el balón) a una tabla de 70 con un balón de 30 cm que a una tabla de 50 cm. con un balón de 10 cm. En ambos casos el centro de gravedad del balón deberá acertar a un blanco de 40 cm. de ancho.
"Si los palos tienen el mismo largo, la pelota mas grande tiene mas probabilidad"
No dije exactamente eso, pero igualmente es lo que queria decir.
Tal vez la confusion se deba a que debiera haberla llamado altura, en vez de largo.
Ya quedo claro que ancho llamo al diametro del poste, o ancho del poste si fuera plano.
Si mis tiros son equiprobablemente distribuidos en el espacio (algo que me sale bastante bien), tengo que ver otra vez para que angulos theta y phi (si me dejan usar esfericas, puedo, gracias) la pelota va a chocar con el poste.
Suponiendo que la altura es H, la probabilidad de acertar sera de ((A+2R)/L)*((H+2R)/L)/(2*PI).
Ojo que estoy considerando solo la semiesfera superior, por eso divido por 2PI y no por 4 PI!!! Soy bestia, pero todavia (todavia) los tiros no se me hunden en la tierra. Y tambien que L>>A,R,y H.
Se puede ver que .....
ya esta , se entendio
Rod tambien lo entendio
Con respecto a lo que decis Markelo como abogado del diablo, si queres te calculo la probabilidad de acertarle con una segunda pelota al poste mas una primera pelota que quedo pegada a él de un tiro anterior.
Pini, tenés mi voto asegurado, mientras mantengas a todos los campesinos trabajndo, sino no.
¿Quién más me vota como Presidente (Emperador o Rey, pero creo que queda más democrático Presidente) del Mundo (Markelo, los votos son los que deciden el mundo, no el mundo el que decide los votos).
¿Yoooo? ¿yo tratando de confundirlos...?
Jamás, y como prueba, les propongo un par de consideraciones para la otra solución:
Me parece que ustedes le están apuntando al poste solo con la mitad de la pelota. Les ofrezco otra imagen que es aun más clara que la de la tabla.
Imaginen ahora que tenemos dos paredes y que estas se encuentran separadas 70 cm.
Estarán de acuerdo en que meter por el hueco de 70 cm la pelota de 30cm equivale a golpear el poste en el problema original.
Lo mismo podemos decir con dos paredes separadas por 50cm con la pelota de 10cm
Ahora... ¿No es más fácil embocarle a un hueco de 70cm que a uno de 50cm?
Diganme que si.
markelo, te diria que si, solo si hablaramos de pelotas iguales. pero este no es el caso.
que pasa si analizammos las relaciones del ancho del hueco respecto de los diametros de las pelotas???
70/30 = 2,333
50/10 = 5
es decir uno es mas del doble que el otro.
entonces, si seguimos el razonamiento de markelo, en todo caso, seria mas facil meter la pelota de 10 en el hueco de 50 y no la de 30 en el de 70
La mejor forma de ver lo que dice sascuatsh es medir el margen de error que se tiene en cada caso.
La pelota de 10 puede desviarse hasta 30 cm del centro de su hueco de 50.
En cambio la de 30 como se desvie más de 10 del centro no entrará en su hueco de 70.
En el asunto del dibujo de la revista, para ver mejor su trampa tomemos en lugar del centro de la pelota el punto que esta en el extremo derecho en la palota de 30; si apuntamos con este punto y la pelota pasa por la derecha del poste acertaremos si ese punto esta a menos de 30 cm del extremo derecho del poste y si la pelota pasa por el lado izquierdo ese punto tiene que tocar el poste. Asà que la diana para ese punto es 40 cm lo mismo ocurre para cualquier punto de la pelota. Lo que no se puede hacer es considerar el punto mas a la izquierda en la izquierda y el punto más a la derecha en la derecha.
Markelo ¿de verdad que no es un cazabobos?
Markelo, aunque se mire con dos paredes las dos pelotas tienen un margen de 40 cm (20 por cada lado):
La de 10 cm: 50 - 10 = 40
La de 30 cm: 70 - 30 = 40
Ignorando peso de las pelotas, maña del tirador, distancia desde donde se tira, efectos raros, altura del poste, etc; es indiferente se mire como se mire.
Yo dije que era un cazabobos...
Markelo, rindete, estas rodeado.
Es verdad que la opinion de la mayoria no es un criterio de veracidad, o como lo dijo alguien (Dikens?) "el numero de malhechores no autoriza el crimen", pero no me (nos) convence la solucion publicada por Humor y Juegos.
Ya le pregunte al estadistico de mi grupo de investigacion, y tambien me (nos) dio la razon.
Faltara algun dato en el problema que te hayas olvidado de poner?
PD: Elessar, tenes mi voto incondicional para Emperador Supremo del Universo Conocido y Sus Alrededores.
Si ganas, acordate de la gente de pequeños Enigmas!!
Pini iria como Primera Poetisa del Imperio, por ejemplo.
Che, que lastima que el ingeniero nuclear no participa mas, a ver que nos podia decir de secciones eficaces de interaccion pelota-poste.
Vale, pongamos la tabla. En un caso es atinarle en pleno a una tabla de 50 cm con una pelota de diez. No puede salir ningùn punto de la misma. Entonces (no sé hacer dibujitos, que en este caso son muy útiles, pero...) el centro de la bola debe quedar a 5cm como mÃnimo del borde de la tabla ,ya sea el derecho o el izquierdo, para que el mismo coincida con el de la bola.
Lo cual nos deja un rango de 50-5-5= 40cm, que me suena de algun lado, de distancia para dar de lleno.
En el otro caso, es el mismo razonamiento, pero con la tabla de 70 y la bola de 30. El centro de la misma debe caer a 15 cm del borde, 70-15-15=40, igual que el caso pasado, igual de facil, igual que ya habiamos dicho.
Elessar, si quieres te voto para presidente, pero no tiene caso. El presidente en teoria si tiene que trabajar, el rey delega todo y se sienta a disfrutar la vida y tener hijos que sean reyes luego para que el pueblo no se quede sin gobernente, lo que a mi modo de ver es mas divertido. Si quieres ser presidente, por mi perfecto, pero luego te van a estar , yo incluso, pidiendo que mejores tal y que las condiciones laborales, y que los impuestos estan muy altos... en cambio, si rey, le mandas cortar la cabeza al ministro adecuado cada que algo salga mal y apaciguas al pueblo. Pero creo en ti.
Gracias por sus votos, ya me decidÃ, voy a ser Esuca (Emperador Supremo del Univeros Conocido y sus Alrededores, como dijo weozex). Y no se preocupen, siempre va a ver un lugar para Pequeños Enigmas (cuando ya me haya aburrido de matar Ministros, ¿a qué página de Internet piensan que voy a entrar? Les doy una pista, no es Yahoo).
Pini, Poetisa del Imperio (la oficial, y si alguien se atreve a tratar de arrebatarle el oficio, será assinado).
Weozex, Ministro del Exterior (si encontramos el exterior, sino simplemente ministro al cual no se le puede cortar la cabeza oficialmente, o te subimos de rango).
Santiago, Rey Corta-Cabezas (te dejo ser Rey de la Tierra).
TODAVÃA ME FALTAN VOTOS, ME PARECE QUE TENGO POCOS.
buno, entonces, la revolución ¿Cuando empezamos?
Weozex y pini tienen desde y las cabezas garantizadas, los demás de aquà también, a menos que el Jefe diga lo contrario... yo sólo obedezco órdenes
Bien. Finalmente lo logramos.
La solución que todos encontraron y demostraron nos dice irrefutablemente que ambos casos son igual de fáciles.
La solución que yo defendà con la humildad que me caracteriza afirma, también irrefutablemente que es más fácil pegarle a un poste de 10 con una pelota de 30.
Ahora sascuatsh, con lógica irrefutable, agrega que, si calculamos la razón entre el ancho total del blanco y el diámetro de la pelota, es más facil pegarle al poste de 30 con la pelota de 10.
Mi obra está cumplida. Creo que ya puedo descansar.
Elessar:
Yo me conformo solo con uno de los universos NO conocidos.
Eso si: a Pini la negociamos.
Más allá de la broma, habrán notado que las tres soluciones son defendibles lógicamente.
Por supuesto, se podrÃan idear refutaciones y refutaciones de las refutaciones. Si fueran otra épocas de Pequeños Enigmas, seguramente los ánimos empeZARIAN A C A L D E A R S E !!!. pero eso no viene al caso en este momento.
Lo que ahora les pregunto es:
Si las tres soluciones suenan lógicas: ¿Donde está el error?
Tuyo Markelo, pero primero tendrÃa que haber escrito bien "Universo", ahora ya está, lo escribà bien. Ahora, no sé si está dentro de mi mandato.
Santiago, cortá cabezas de los que se opongan a la revolución, y de otros si querés también.
a sus órdenes mi general
¿General? ¿No soy particular? Pueden llamarme Esuca no más.
>Markelo: ¿No es más fácil embocarle a un hueco de 70cm que a uno de 50cm? Diganme que si.
No, Markelo. No si las pelotas son de distinto tamaño.
Asà que me reafirmo en mi tésis de que ambos casos son igual de fáciles.
Creo que el "error" está en que no nos damos cuenta que cuando se golpea a un balón se apunta a... un punto. Y que ese punto, en este caso, tiene que estar dentro de un blanco de 40 cm. de ancho en ambos casos.
Y se me ocurre que podrÃa darle la vuelta a tu razonamiento (de manera similar a como ha hecho sascuatsh)... ¿No es más fácil embocarle a un hueco con una pelota de 10 cm. que con una de 30 cm.?
:-)
Y por otro lado, para terminar de liarlo del todo, tal como decÃa weozex si tenemos en cuenta la altura del poste, y suponiendo que ésta no es infinita... resulta que serÃa más fácil acertar con una pelota de 30 cm.
Si el balón nos sale un poco alto, justo por encima del poste, con la pelota grande tendrÃamos un blanco 20 cm. más grande (de alto) y alguna probabilidad más de acertarle al poste...
:-D
Las probabididades son las mismas porque ambos casos son idénticos. En ambos casos hay dos cuerpos y tienen las mismas medidas. El hecho de que uno de ellos se mueva y otro esté estático es relativo a nuestra posición, bien podrÃamos estar hablando de pegarle a una pelota con un poste.
fuera del negocio, muchachos!
¿Pero podemos cobrar la jubilación?
Ay x Dios! Q lÃo! Lo siento mucho, pero soy muy floja y no puedo leer todos los comments.
Estuve haciendo el ejercicio con un amigo. Ambos llegamos a la misma "solución" de distinta manera: él por método matemático y yo por lo que estudié el primer año en GeometrÃa Descriptiva (dibujo técnico). Es más fácil acertar con la pelota de 30 cm. Pediré a mi amigo que explique cómo lo hizo él. ¿Cómo lo hice yo?, es más complicado de explicar (por los dibujitos).
Puedo deciros que en un principio estaba convencida de que daba igual un caso que el otro y que el ángulo de tiro era 2 veces (por la derecha y por la izquierda) la arcotangente de (20/x), siendo x la distancia en cm del centro de la pelota al plano del poste. Yo habÃa reducido el cÃrculo (la pelota) a un punto y entonces sumado al poste el radio a cada lado (resultando en ambos casos el poste famoso de los 40 cm). El error: habÃa supuesto que la pelota (en su recorrido) rozaba el poste cuando quedaban alineados los centros y el poste. Pero esto en realidad no sucede porque la pelota no tiene un recorrido perpendicular al plano del poste (en este caso de ángulo extremo para que la pelota roce al poste). Lo siento, pero es que no sé explicaros cómo lo hice por escrito. Únicamente os puedo decir que os hagáis un dibujillo, bastante exacto para que podáis apreciar la diferencia del ángulo (yo usé el AutoCAD). A mà no me puede convencer desde luego que ambos casos son igual de fáciles porque en mi dibujito eso no sucede. Dibujaros el cÃrculo y el palo, y después la tangente a la circunferencia que pasa por el extremo del poste. Esta lÃnea marca el ángulo lÃmite y el centro de la circunferencia cuando roza al poste se encontrará en la perpendicular a esta lÃnea que pasa por el extremo del poste. La lÃnea es oblicua (obvio) y el centro nos quedará antes del poste y no alineado con el mismo como supuse en un principio.¡El ángulo es más abierto que como suponemos! y no es igual para los dos casos planteados.
Mil disculpas, tal vez ni siquiera aporte nada con este comment o quizás algo, liaros más.Eso sÃ, NO ES lo MISMO.
A ver si puedo explicároslo por el método matemático. Muchos saluditos ;)
Interesantes los últimos razonamientos pero, como ya dije, ya ha quedado demostrado que:
1) Es más fácil con la de 30
2) Es más fácil con la de 10
3) Es igual de fácil con las dos.
PodrÃamos seguir acumulando argumentos matemáticos, gráficos, lógicos y/o intuitivos en favor de una postura y en contra de las demás, pero eso no quita que, en cierto sentido, las tres posturas tienen razón.
Lo que ocurre, en mi opinión, es que partimos con error, y eso es lo que les pregunto ahora.
¿Cuál es el error que hay desde un comienzo?
el razonamiento de weier es simplificable con una hipotesis (simplificativa), que es suponer el tiro desde una distancia adecuada para que el tiro sea lo suficientemente perpendicular al plano del poste. para que se entienda, si me paro a 50 cm del poste y quiero tirarla rozando el mismo, tendre que patear muy para el costado o muy oblicuo al plano del poste; pero si me paro a 20 metros, para volver a tirarla rozando el tiro va a ser muy diferente al anterior y casi perfectamente perpendicular al plano del poste.
es decir, a partir de una cierta distancia razonable podemos suponer que todos los tiros son perpendiculares al poste.
El error en las consideraciones anteriores consiste en tomar dos veces el diámetro de la pelota como parte del blanco.
A ver si me sale la explicación sin gráficos:
- Consideremos las pelotas en ambos casos como un punto ubicado en el centro de la misma.
- Consideremos que al patear la pelota ésta puede salir en cualquier dirección.
- Podemos decir que hay 100% de probabilidades de que la pelota salga en un ángulo de 0 a 360 grados. Podemos decir también que cuanto más se achique ese ángulo más difÃcil es que la pelota salga dentro de él.
Ahora queda encontrar en ambos casos cuál es ángulo dentro del cual puede salir la pelota para dar en el blanco. Para esto, considerando que las pelotas están a la misma distancia del palo podemos poner el ángulo en función del segmento que definamos como blanco.
- Dar en el blanco implicarÃa en ambos casos que:
1. el punto central de la pelota pase por el poste
2. el punto central de la pelota pase a una distancia máxima R (radio de la pelota) del borde del palo (a ambos lados).
Convenimos en que si el centro de la pelota pasa a una distancia mayor de R del borde del palo habremos fallado el disparo.
En el primer caso el segmento por el que debe pasar el punto es de 10/2 + 30 + 10/2 = 40 cm
En el segundo caso el punto deberÃa pasar por un segmento de 30/2 + 10 + 30/2 = 40 cm
Si los segmentos son iguales, entonces los ángulos son iguales y las probabilidades son iguales.
Weier tiene razón en su planteo riguroso de que el segmento proyectado sobre la perpendicular al eje palo/pelota va a a ser menor a los 40 cm (tanto menor cuanto mayor es la distancia palo/pelota). Pero me parece que en ambos casos va a ser igual.
Una cosita: ¿Tenemos que dar por supuesto que el centro de la pelota se encuentra en la perpendicular al poste que pasa por la mitad del mismo?
bueno amigos los que hayan dicho que la posibilidad es la misma creo ke han acertado porque:
doy un razonamiento mas simple.
el radio de la pelota pequeña es 5 cm
por tanto puede desplazarse esos 5 cm y diez mas del palo gordo a cada lado. O sea que se me puede desviar la pelota 15 cm a cada lado y toco el palo 15+15=30cm
el radio de la gorda es 15 por tanto se me puede desviar 15 a cada lado 15+15=30cm
tambien puedo deciros sino habies entendido eso que dos cuerpos fijos de tamaños distintos a una misma distancia forman un angulo.
la cuestion es ponerse en el lado que quieras de los dos objetos y el angulo de impacto sera el mismo
Un saludo OSK
He sacado las siguientes fórmulas para los semi-ángulos de tiro lÃmite. Para ambas es: arcsen(15/h)+arcsen(5/h), sólo que h no es igual en los dos casos (h es la distancia del centro de la pelota al extremo del poste).
Si l es la distancia entre poste y centro de la pelota, para la grande H=RaÃz de (5^2+l^2) y para la chica h=RaÃz de (15^2+l^2). Lo que es lo mismo:
H es menor que h, entonces 15/H y 5/H es mayor que 15/h y 5/h respectivamente.
Si consideramos que el semi-ángulo se encuentra entre 0 y Pi/2, entonces también se verifica que
arcsen(15/H) y arcsen(5/H) es mayor que arcsen(15/h) y arcsen(5/h) respectivamente.
Asà que yo cogerÃa la pelota grande.
Lo siento mucho Markelo porque yo me empeñe en demostrar que mejor pelota de 30, pero es que las demostraciones de las otras soluciones no me llegan a convencer.
Muchos saluditos que yo seguiré con mis dibujitos ;)
En realidad no pasa por un segmento de 40 cm JP, sino que hay un determinado angulo de salida de la pelota para que pueda tocar el poste. Y weier, en realidad es bastante simple mostrar en forma bastante rigurosa que la probabilidad es la misma. En primer lugar, es lo mismo considerar que la pelota se mueve hacia el poste o el poste hacia la pelota. Es decir, podemos tomar como marco de referencia el centro de la pelota, y seria el poste quien se moveria. h decis que se refiere la distancia del centro de la pelota al extremo del poste. Me imagino que lo que estas haciendo es trazar la tangente a la circunferecnia que pasa por el centro de la pelota. Pero esto no corresponde a la situacion limite ya que estas considerando el centro de la pelota y no sus "bordes" o como se lo quiera llamar. En cuanto a la demostracion: sea x la distancia entre ambos centros. Se dibuja una circunferencia de 20 cm de radio que tenga de centro el centro de la pelota o del poste(es indistinto, ya que ademas despues de todo estaria representando ambos casos: pelota de radio 5 y 15 cm). Despues se trazan las tangentes (dos) a esta circunferencia que pasan por el centro del otro objeto, determinando al angulo por el cual puede salir la pelota. Si se considera que el centro de la pelota se encuentra en alguno de los dos puntos de tangencia, efectivamente se comprueba que corresponderia a la posicion de la pelota cuando esta pasa rozando al poste, ya que 20cm – 15cm(radio poste) = 5cm el radio de la pelota y 20cm – 5 cm(radio poste) = 15 cm el radio de la pelota, justamente el valor del radio que corresponde a postes de 15 y 5 cm de radio respectiavmente. Como la tangente determina un angulo de 90, y sea alfa el valor de los angulos formados por la recta que une ambos centros y ambas tangentes, en ambos casos(pelota de radio 5 o 15), sen alfa = 20 / x. Por lo tanto ambos angulos son iguales y la probabilidad tambien.
Por si no te convence, traza las tangentes a las circunferencias que representan el poste y la pelota que cortan la recta que unen ambos centros, no las otras dos. Asi se estan considerando las trayectorias que corresponden a cuando la pelota roza el poste. El angulo que determinan las tangentes es el mismo que el mencionado anteriormente. Se comprueba trazando las paralelas a estas tangentes que pasan por alguno de los dos centros(ambas paralelas pasan por el mismo centro en cada caso)
Lo siento mucho Jean Paul pero no me convence.
Lo primero, puede ser lo mismo que la pelota se acerque al palo o que el palo se acerca a la pelota, pero siempre que palo y pelota tenga las mismas dimensiones en los dos casos. No creo que sea lo mismo comparar casos en la que las dimensiones son diferentes, sobre todo porque se tratan de dos entidades diferentes, una superficie y un segmento. Lo segundo, la h no es tangente de nada ni paralela a tangente siquiera, sólo es un valor para poner en función de él los ángulos. He subido a la red cómo llegué a las fórmulas. Es mi primera vez que subo algo, no sé ni siquiera si lo podreÃs ver o tendreÃs algún problema: http://galeon.com/weiertras/Pelotapalo.htm (aquà no se han respetado las letras griegas) o http://galeon.com/weiertras/Pelotapalo.pdf si queréis abrirlo como pdf (ocupa unos 85kB).
[Llevo poco tiempo visitando tu página Markelo, no sé si puedo poner enlaces en los comentarios, si no es posible, bórralo.]
Por otro lado, Jean Paul no entiendo muy bien que quieres que trace. No obstante, el problema lo enfoco como ejercicio de geometrÃa algo que conozco bastante bien (me paso el dÃa haciendo tangentes, paralelas y perpendiculares). Te lo aviso: va a ser muy difÃcil hacerme cambiar de opinión ;)
No te tomes esto a mal, sólo estoy en desacuerdo con lo que has dicho y doy mi punto de vista.
Hasta lueguito y hasta que me nombren (que yo sigo todo el dÃa dibujando)
Bueeeno, lo de la tangente lo pense porque habias dicho "h es la distancia del centro de la pelota al extremo del poste". Me imagine que con el extremo del poste te referias a la tangente. Ademas como despues usas Pitagoras para sacar h y H, estas considerando que el angulo mide 90 grados, con lo cual creo que estas considerando la tangente que pasa por el centro de la pelota.
Acabo de ver el diagrama que hiciste. Seria mucho mas facil convencerte si tuviera algun programa para hacer diagramas facilmente. No te lo tomes a mal, pero el diagrama tiene un error. Estas considerando que en el punto de roze x y R no estan alineados, cuando si lo estan. Como de hecho se puede ver en el diagrama, h corta a la circunferecnia de la derecha, con lo cual la pelota podria pasar un poco mas por abajo. Pero igual no debe trazarse la tangente a esta circunferencia, sino que a una de radio de 20cm como mencione anteriormente. Habia puesto la 2da explicacion por si la 1ra no era clara, pero creo que se entendio menos que la primera. Haber si te puedo convencer con esto: considera dibujando lo que puse antes. Es decir: una circunferencia de radio 20 y otra de radio 15 con el mismo centro que la de 20, y otro punto que representa el centro de la pelota. Traza la tangente a la circunferencia de 20 que pasa por el centro de la pelota y traza el segmento que va desde el punto de tangencia hasta el centro del poste. Este segmento corta a la circunferencia mas pequena de radio 15, digamos que en A. Desde A hasta el centro del poste hay 15cm, y por lo tanto desde A hasta el punto de tangencia hay 5 cm(si el poste tiene radio 5, desde A hasta el punto de tangencia hay 15cm). Asi x y R estan alineados. Ahora la parte quizas mas dificil de explicar. x y R DEBEN esatr alineados. Esto implica que el punto de la pelota que roza el poste describe una recta tangente a dicho poste(En la 2da explicacion de las que di antes se muestra el angulo considerando esta tangente) . Si no describiera una recta tangente, significaria que la pelota todavia puede pasar un poco mas alejada(como en tu caso weier) o que debe pasar un poco mas cerca. Espero que este un poco mas claro que las otras explicaiones.
A ver, a lo mejor nos estamos liando un poquillo.
El poste ¿qué es? Visto en planta la escena, ¿es una circunferencia o un segmento? Es que si el poste tiene sección circular, yo sà estarÃa de acuerdo con lo que dices Jean Paul. Yo he considerado el poste como un prisma en el que la cara que se enfrenta a la pelota mide los 10cm ó 30cm, como en el enunciado no se habló de radio en el poste sino de ancho...Y también darÃa igual que sea el poste el que se acerca a la pelota porque ya serÃan dos entidades iguales.
Si se considera cilÃndrico de radio 10 ó 30, pues sà serÃa como dices y el ángulo serÃa incluso mayor que considerado plano.
Si finalmente es plano, yo sigo en mis trece.
Markelo, a ver si nos podrÃas aclarar esto (para poder seguir dibujando más tranquila)
Hasta lueguito ;D
Ahh, ahora con lo del prisma entiendo uno de tus comentarios anteriores: "Una cosita: ¿Tenemos que dar por supuesto que el centro de la pelota se encuentra en la perpendicular al poste que pasa por la mitad del mismo?" Tenes razon en lo de ancho porque para la pelota dice diametro pero para el poste no. Igual interprete que se referia a un cilindro. De todas formas creo que Markelo se referia a que fuera circular porque sino habria infinitos casos a considerar. En este caso la probabilidad si seria distinta como vos decis weier.
¡¡¡Menos mal!!! que era eso. Me estaba rallando ya mucho con el problema. Ahora sólo queda que Markelo nos saque de las dudas. Me alegro Jean Paul que verdaderamente estemos de acuerdo :)
Hasta otra
Realmente les agradezco el interés y el trabajo que se están tomando con este problema.
Por spuesto pueden continuar, eliminando todas las hipótesis simplificativas que habÃamos hecho hasta dar con una solución general, pero esto excede lo buscado en "Pequeños Enigmas"
Como ya habÃa dicho un par de veces, las tres soluciones básicas presentadas suenan lógicas y plausibles. En mi opinión, lo que ocurre es que hay un error básico que permite como posibles tres soluciones contradictorias.
Doy una última pista y, si no lo ven, mañana lo comento como para ir cerrando el tema.
La pista es: ¿Qué pregunta es la que están respondiendo?
Es una pregunta con truco, porque si la respondo, obviamente estoy respondiendo a esa pregunta, asà que la respuesta es una sola, asà que no sé para qué estás preguntando una pregunta (serÃa más raro si preguntaras una exclamación) de la cual ya sabés la respuesta.
Estoy respondiendo a la pregunta que pusiste, Markelo, en el comentario anterior.
Como este problema ya salió de la página principal, dejo un último comentario como para ir cerrándolo.
La pregunta que planteaga el problema era: ¿Qué es más fácil...? y creo que aquà está el error del que les hablaba.
¿Que queremos decir con más facil? Como no definimos lo que es facilidad para el ámbito de este problema, nos aparecen distintas soluciones todas igualmente lógicas dependiendo de que definición asumamos.
Si la mayor facilidad viene dada la mayor franja de acierto, entonces es más facil con la pelota de 30cm
Si la mayor facilidad viene dada por el ángulo de acierto que forma el centro de la pelota con el tirador y el poste, la facilidad es la misma en ambos casos.
Si la mayor facilidad viene dada por la mayor relación franja de acierto/diámetro de la pelota, entonces es más fácil pegarle con la pelota de 10 cm.
Por supuesto, habrá quien diga -Para mi, facilidad es esto- pero, como no nos pusimos de acuerdo desde un principio... pueden escoger la solución que prefieran.
Da igual una cosa que otra porque al final entre las dos cosas acaban sumando los mismos centÃmetros entonces que mas da tirarla mas a la derecha si tienes menos centimetros de poste.
Y que mas te da tirarla mas hacia la derecha si tienes mas centimetros de poste.
HAAAAAAAAAAAY si esque con 16 añitos que tengo que listo soy. Y eso que todavia no tengo el graduado.
Muchas gachas por su atencion.
Solo quiero añadir una cosa:
YO ME ENTIENDO
HOLA A TODOS: Les cuento que hace ya un buen tiempo que no visitaba esta web, pero gracias a mi amigo Jean Paul, me entere de esta discusion, y me pidio que leyera el problema, ya que alguien pidio mi intervencion. La verdad es que no lei ninguno de los comentarios anteriores, y el problema me parece muy sencillo. POR FAVOR denme un poco de tiempo para leer todos los comment y despues les pondre mi respuesta. Por el momento solo les contesto que depende de quien sea el que patee la pelota o de quien le pegue con el palo, segun sean los involucrados Maradona de 1986, Tiger Wood de 2002, o Yo de hoy. Despues les contesto, saludos
mas fácil con la pelota grande si con el pie, si con la mano, con la pequeña.
Ademas de lo de facil, creo que tambien deben considerarse otras cosas. Una fundamental es considerar que la pelota de 30 y 10 cm y los postes tienen su centro para cada situacion en el mismo lugar. Creo que es bastante razonable porque sino podria considerarse cualquier cosa etc. La otra, es que la pelota en una MISMA situacion salga del mismo lugar. Sino tambien sepuede concluir cualquier cosa porque en definitiva serian situaciones diferentes. No se si me explique bien, pero en realidad todo esto es para decir que no estoy de acuerdo con el concepto de franjas. Considerar determinadas franjas en lugar de un angulo implica que se esta tirando la pelota desde distintos lugares. Y al igual que se sonideran esos dos lugares podrian considerarse cualquier otros.
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un otro
punto punto
Implican dos puntos porque para que la pelota pueda tocar en las situaciones limite extremos opuestos, las trayectorias deben ser lineas paralelas. Es decir: las tangentes que pasasn por puntos diametralmente opuestos son paralelas. Entonces la pelota se encontraria en distintos puntos para una misma situacion.
Perdon por los numerosos errores. El esquema de nuevo,(salio mal)
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un otro
punto punto
Creo que ahora se entiende.
Otra vez!!!
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un.....otro
punto..punto
Cuantas neuronas se quemaron resolviendo lo anterior??
!Y pensar que yo me quejo de los deberes escolares!!!
yo creo que es dependiente a la distancia que hay entre la pelota y el poste
es mas facil con la pelota de 30 en el poste de 10
me vasos en la practica
un pelota de futbol pega mas en el travesaño o n el palo del costado que una pelota de golf rn un pino
CUALQUIERA
Coincido con la respuesta que dio Markelo. Segun los datos que da el problema.
Es mas facil con la pelota chica en el poste grande.
La superficie del poste con posibilidad de contacto es variable, la de la pelota no; siempre es minima, un punto.
El angulo que importa es el angulo que corresponde a la situacion limite, o sea el que angulo que separa los tiro que le pegan al poste de los que no le pegan.En ese momento (en que la pelota roza al poste ) la pelota es tangente el poste (suponiendo que el poste es cilindrico). Entonces el centro de la pelota se encuentra sobre la circunferencia con cento en el tirador y que pasa por el centro del poste.La distancia entre el centro de la pelota y el centro del poste es la suma de los radios, que es para los dos caso 5+15=20 cm. y esla misma para los dos casos, que son en lo que hace al angulo de diparo igual de faciles.Esa es la respuesta que veo como correcta a menos que me digan que por la resistencia del aire es mas facil tirar una pelota chica que una grande,pero eso no me parece que es lo que se plantea .Por lo que pinso que la respuesta es que es la dificultad es la misma
El angulo que importa es el angulo que corresponde a la situacion limite, o sea el que angulo que separa los tiro que le pegan al poste de los que no le pegan.En ese momento (en que la pelota roza al poste ) la pelota es tangente el poste (suponiendo que el poste es cilindrico). Entonces el centro de la pelota se encuentra sobre la circunferencia con cento en el tirador y que pasa por el centro del poste.La distancia entre el centro de la pelota y el centro del poste es la suma de los radios, que es para los dos caso 5+15=20 cm. y esla misma para los dos casos, que son en lo que hace al angulo de diparo igual de faciles.Esa es la respuesta que veo como correcta a menos que me digan que por la resistencia del aire es mas facil tirar una pelota chica que una grande,pero eso no me parece que es lo que se plantea .Por lo que pinso que la respuesta es que es la dificultad es la misma
la segunda opcion
las posibilidades son mayores
usen la logica!!!!
De acuerdo con la solución de Jean Paul.
Aqui otra forma de verlo:
Si vemos la pelota y el poste como discos en un plano, es decir, si los cortamos transversalmente y nos quedamos con los circulos de sus diametros, veamos que pasa al viajar una en direccion de la otra.
Ahora no son un poste y una pelota sino dos discos vagando en un plano. NO IMPORTA CUAL DE ELLOS MIDA 10 Y CUAL 30, SEGUN LA RELATIVIDAD PUEDE TOMARSE CUALQUIERA DE LOS CUERPOS COMO EL QUE VIAJA EN DIRECCION AL OTRO. En ese sentido, si disparamos el disco de 30 contra el de 10 sera lo mismo que si disparamos el disco de 10 contra el de 30, solo depende de que posición tomemos como la fija y cual la de movimiento. En conclusion, es exactamente los mismo.
Al toque y sin pensar me parece mas facil con la pelota grande.
Pero la joda es meterla en el arco, y no andar dando en el palo.
:-)
bueno en mi opinion algunas soluciones son interesantes pero yo opino que primero en vez de buscar cual es la manera mas facil de pegarle al poste, nos hemos puesto a pensar y si el tirardor no tiene una pierna? o si acaso no tiene la fuerza suficiente para pegarle al balon,o a caso tiene ,mal la vista?, ahora de que distancia le vamos a pegar al balon ? desde el manchon penal o desde donde? pienso que para mi esas son incognitas muy importantes porque no podemos empezar a dAr soluciones si no tenemos los datos basicos, que tal si nos pide que le demos al poste desde el otro lado de la porteria yo creo que jamas llegaremos a darle. gracias
yo sinceramente opino k estays todos mu mu mu flipaos y teneis k ser una panda d marginados pa estar pensandoe n xorradas d esas porke creo k eso nunca nunca t va a solicionar los problemas d la vida asi k trabajar y dejaros d xorradas moniatos
Respondiendo a la pregunta, claro que es mas facil golpear un poste de 10 cm de ancho con una bola de 30 cm de diametro. Esto se debe a que debido a que los postes son cilindricos, no importa sin son de 10 o 30 o 50 cm de ancho, sino de cuanto es su diametro, asi que se deja implisito en el problema que son del mismo diametro, por lo que es mas facil poder golpearlo con la pelota de diametro mayor (30 cm). Esto es un hecho incluso aplicandolo a todas las demas variables inventadas en las demas respuestas al problema.
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