Releyendo uno de los libros de Martin Gardner (Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas) me reencuentro con un acertijo al que alguna vez supe dedicarle bastante tiempo: Los autonúmeros.
Para entender que es lo que son, tomen un número entero positivo cualquiera y súmenle la suma de sus cifras.
Por ejemplo, si tomamos el 48 y le sumamos 12 (4+8), el resultado es 60. Podemos decir que el 60 es un número generado por 48 y que este es el generador de 60.
Podríamos continuar la serie indefinidamente a partir del 60: 66, 78, 93, 105, etc.
Un autonúmero es, sencillamente, un número que no tiene generador. Son infinitos, pero son bastante más escasos que los números generados.
Por ejemplo, entre los números de una cifra, 1, 3, 5, 7 y 9 son autonúmeros.
Hay solo 8 números de 2 cifras que son autonúmeros, el 20 es el menor de ellos. ¿Podrán encontrar los otros 7?
Una fácil: 2004 es un número generado. ¿Cuál es el generador de 2004?
Una más dificil: ¿Cuál es el próximo año que será autonúmero?
No existe (que yo sepa) una fórmula que genere todos los autonúmeros, pero existe un algoritmo que permite evaluar si un número es generado o no. Quizá uno de ustedes lo redescubra, sino, lo pondré aquí mismo luego.
Update 13/09/04
No lo había mencionado antes, pero los autonúmeros parecen haber sido descubiertos por un matemático Indio llamado Kaprekar (de quien tendremos que volver a hablar en algún momento).
Buscando en Google Kaprecar self numbers aparece bastante información.
Como no podía ser de otra manera, los autonúmeros aparecen en la Enciclopedia de las secuencias y, buscando, encontré una fórmula recurrente que nos da el k-ésimo número de la secuencia a partir del número anterior.
Les cuento el algoritmo que muestra Gardner que permite evaluar si un número es generado:
Para evaluar un número N, se obtiene la raiz digital sumando sus cifras repetidamente hasta obtener un solo número (lo que conocemos como prueba del nueve).
Si la raíz digital es impar, se le suma 9 y se divide por 2. Si es par, se le divide directamente en 2. Llamemos C al número así obtenido.
Restemos C a N. Fijémonos en el resto para ver si genera N. De no ser así, se resta 9 al último resultado y se vuelve a hacer la comprobación. Si no es así, se continua restando 9 comprobando en cada resultado si el resultado genera a N.
Si no es así al cabo de K pasos, donde K es el número de dígitos de N, entonces N es autonúmero.
Por ejemplo, tomemos el 2005.
La raiz digital es 7. como es impar, le sumamos 9 y al resultado lo dividimos en 2. Nuestro valor de C es 8.
Hacemos 2005 - 8 = 1997 y vemos que no genera a 2005
Seguimos: 1997 - 9 = 1988 y vemos que no genera a 2005
Otra vez: 1988 - 9 = 1979 y calculamos que si genera a 2005 (=1979+26)
Si no hubiese sido así, hubiese bastado con repetir el procedimiento una vez más para comprobar si es autonúmero.
Ya que estamos: ¿Alguno de ustedes nació en un año autonúmero?
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37 comentarios:
Y bueno, parece que me toca arruinar el juego a los que vengan. Pero no me remuerde demasiado la conciencia, la verdad.
Son autonúmeros de dos cifras: 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86 y 97.
El generador fácil de 2004 es 2001. Pero hay otro que tiene que ver conmigo. Vaya pista ¿no?
El próximo año autonúmero es: 2007. Creo
Y el algoritmo no tengo idea, porque además se enciman (hay números con dos generadores, por ejemplo 101 que puede ser fruto de 100 y de 91, o 2004 que puede ser de 2001 y de X). Pero algo tiene que ver con la cantidad de cifras y un once.
Coincido con Santiago, y además añado el algoritmo, como una fórmula del Excel:
=IF(MOD(MOD(A4-9,101),11)=0, "Autonumero", "No")
Coincido con Santiago, y además añado el algoritmo como una fórmula de Exce3:
=IF(MOD(MOD(A4-9,101),11)=0, "Autonumero", "No")
Coincido con Santiago, y además añado el algoritmo como una fórmula de Exce3:
=IF(MOD(MOD(A4-9,101),11)=0, "Autonumero", "No")
La cumplen todos menos los tres primeros (1, 3, 5)
Emcima de escribirlo 3 veces, la fórmula tampoco sirve para números mayores de 1006.
Lo siento.
Santiago, tenés 21 años?
la suma de las cifras de un número geneerado siempre es par. Eso hace las veces de algoritmo discriminatorio a la hora de saber si un número es generado o no.
Comprobadlo si queréis.
No, font. 12 es generado (por 6) y la suma de sus cifras es impar.
me pregunto porque los números 13, 15, 17 y 19 no son autonumeros. ¿alguien me podrÃa explicar eso?
Bien Santiago.
Efectivamente, el 2004 tiene 2 generadores, el 2001 y el... otro (que ya descubrió Lorena)
Por supuesto, ya me arruinaste la pregunta :-) ¿cuál es el menor número que tiene dos generadores? cuya respuesta es el 101.
Para los audaces: ¿Cuál es el menor número con 3 generadores? Les advierdo que es un número "bastante" grande.
David: Buen intento. Tal vez puedas contar como se te ocurrió.
Font, ya te contestaron.
Ervr: El 13 es generado por 11, el 15 es generado por 12, etc.
En el cuerpo extendido del post, pongo algunas consideraciones más sobre el tema y el algoritmo de comprobación que les mencioné.
Hace tiempo que no pasaba por acá. Demasiadas cosas para hacer (nadie me cree ya sé).
El otro número que es generador de 2004 es el 1983, como ya dijo Lorena.
No tengo la menor idea de qué es un algorritmo, asà que eso lo dejo de lado.
¿Alguien me podrÃa decir si 2003 es un número autogenerado? Me parece que sÃ. No sé. Sólo me preguntaba yo. ¿Y al 2005 quién lo genera? Yo no lo pude encontrar.
Hola Elessar, tanto tiempo (te creo... te juro que te creo)
Justamente, mientras escribÃas, acabo de agregar la explicación de un pequeño algoritmo (Conjunto ordenado y finito de operaciones que permite hallar la solución de un problema, según el DRAE) ahà donde dice "continúe leyendo..."
Jajaja. Justo cuando yo dije lo del 2005 vos me contestaste sin saber que yo habÃa preguntado.
De paso, no nacà en un autonúmero.
Entre el 9 y el 1006, la diferencia entre dos autonúmeros consecutivos sigue un patrón:
Número Diferencia
9 11
20 11
31 11
42 11
53 11
64 11
75 11
86 11
97 11
108 2
110 11
121 11
132 11
143 11
154 11
165 11
176 11
187 11
198 11
209 2
211 11
222 11
...
Me gusto, El que no llegue ha encontrar fue el 2007, pero si encontré el generador doble.
David: el patrón que mencionas es válido entre 9 e infinito; una hoja de cálculo con algunas funciones lo corrobora (¿Desean las instrucciones?
existen 6413 autonúmeros entre 1 y 65535; el mayor es el 65525; de la hoja de cálculo se pueden sacar todos los datos que uno quiera
Sólo que la hoja de cálculo se tarda un poco en hacer todos los cálculos...me llevo un dÃa completo
un dia para construir la hoja...
Nralda me gustarÃa que tuvieses razón, pero no es asÃ. Veamos:
804....11
815....11
817....2
828....11
839....11
850....11
861....11
872....11
883....11
894....11
905....11
916....11
918....2
929....11
940....11
951....11
962....11
973....11
984....11
995....11
1006...11
1017...11 ???????
1019...2 ???????
Como 1008 genera a 1017 y 1009 genera a 1019. El patrón se rompe.
A partir de 1006 sigue existiendo un patrón. ¿Listos para buscar?
Oh!, asombroso... El siguiente autonúmero luego de 1006 es 1021. La diferencia es 15.
Haciendo la lista de diferencias entre autonúmeros consecutivos, el 15 aparece en las posiciones 103, 201, 299,... (cada 98 autonúmeros).
Las otras diferencias son 11 y 2.
El patrón serÃa algo como:
15, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,
15, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 2,
...
Se repite hasta infinito?
Como dicen los argentinos: tenés razón David, no es ese patrón pero si es otro.
Lorena le atinó cuando dice que la dif. de 15 aparece cada 98 autonúmeros hasta que aparezca 9 veces, después aparecerá una diferencia de 28 (entre los autonúmeros 10032 y 10004), posteriormente aparecerán nuevamente 9 diferencias de 15 por una de 28
la dif de 15 aparece cada 98 posiciones hasta la novena vez, la 10a, 19a, 28a, 37a, etc. aparece a cada 194 posiciones
la dif de 28 aparece cada 980 posiciones
El patrón es válido hasta el autonúmero que yo calcule (65525), habrÃa que ver si después de la 9a vez que aparece 28 aparecerá 28 o una mas grande...
un poco enredado ¿No?
PD: pasar tanto tiermpo en esta página crea adicción...mejor me voy a hacer otra cosa.
Cada que "aumenta de grado" (es decir alrededor de las potencias de diez —pero no sé dónde—) entra otro número al patrén, que se repetirá alrededor de diez veces en el ciclo. Con ejemplos mejor. En las decenas es el 11, en las centenas el 2, en los millares el 15, en las decenas de millar el 28 y asÃ. Ésto porque hay una cifra más que sumar. Igual que se empiezan a duplicar en las centenas los generadores. Pero luego no sé si se tripliquen y asÃ, aunque no me sorprenderÃa demasiado. Se pone interesante ésto.
No termino de asombrarme. Hasta el 500000, no hay número generado por tres raÃces. El otro número que aparece en las listas de diferencias al pasar a otra potencia de 10, es el 41. Corresponde a la diferencia entre el autonumero 9786 y el siguiente. La siguiente aparicion es en la posición 19564, asÃ, el 41 se repite cada 9778 autonúmeros.
Quise decir: la diferencia de 41 corresponde al autonúmero 9785º, que es 100002, y el 9786º, que es 100043
el 15 se repite cada 98 posiciones (excepto cuando aparece el 28)
el 28 se repite cada 978 posiciones (excepto cuando aparece el 41)
el 41 aparece cada 9778 posiciones (excepto cuando aparece el 54)
el 54 aparece cada 97778 posiciones! (excepto cuando aparece el ????)
El que no aparece es el número con 3 generadores. (buscado hasta 10 millones). Y no puedo calcular más, porque me quedé sin margen en la hoja.
La verdad es que se puso interesante.
¿Cómo están obteniendo los valores? ¿Con una planilla de Excel o programando en algún lenguaje?
Lo interesante serÃa descubrir si 2, 11, 28, 41, 54 siguen algún patrón para poder predecir que viene después.
¿Alguno probó la fórmula recursiva que aparece en http://en.wikipedia.org/wiki/Self_number ?
Efectivamente, Lorena, el número con tres generadores es "bastante" más grande. No lo pongo, porque se que hay algunos cabezaduras que les tienta la idea de encontrarlo.
Les pongo en cambio el número más pequeño que tiene 4 generadores (descubierto por Kaprekar):
Tiene nada más que 25 cifras. Es un 1 seguido de 21 ceros y termina en 102.
No lo comprobé ni calculé los 4 generadores, pero confÃo plenamente en Gardner :-)
Excel? no me gusta, y no sé usarlo. Programar? Qué es eso? Yo uso papel y lápiz.
La fórmula de la página da 9, 97, 905, 8913, 88921... son autonúmeros, pero deja muchos en el camino...
Markelo: ahi tenes otro acertijo: cual es el número qeu sigue en la serie:
2- 11- 15 - 28 - 41 - 54...
Conjetura: 63, 76, 89...
Más conjetura: el 63 aparece cada 977778 autonúmeros (excepto cuando aparece el 76)
el 76 aparece cada 9777778 autonúmeros...
y no puedo conjeturar más, porque ya me vienen a buscar del psiquiátrico.
Lorena:
Lápiz y papel!!!
Si tuviera un sombrero... me descubrirÃa ente vos :-)
En cuanto a tu conjetura del "13", parece interesante, si no fuera por el "11", aunque ¿casualmente? 2+11 = 13
Markelo: desde mi punto de vista es más facil en una hoja de excell; casi estoy seguro que el patrón observado en la generación de autonúmeros es hasta infinito:
A partir del 20 a cada 9 diferencias de 2 aparecerá una de 15, a cada nueve de 15 una de 28, a cada 9 de 28 una de 41, y asà .......¿Porqué las diferencias se incrementan en 13? porque son 13 las diferencias de 2 que hay entre el 1 hasta la primera diferencia de 15.
He soñado con autonúmeros todos estos dÃas, hasta me asaltó la inquietud de saber si la cuenta del teléfono es o no autonúmero o quien lo genera...a diferencia de Lorena seré yo mismo quien vaya al psiquiatra
Dice David "...La cumplen todos menos los tres primeros (1, 3, 5)"
Me pregunto: ¿No hay otros primos autonúmeros?
Primos autonúmeros? El 31, el 53, el 97... El 1 no es primo.
ups, decÃa primeros, no primos XD
Con la misma fé que Markelo en Gardner he aplicado el algoritmo y descubro con asombro que soy autonumérico de nacimiento.
Mi última edad autonumérica fue ayer hace 3 años.
Perdón por la disculpa. Soy generado en ambos terrenos, en el biológico y en el numérico.
Ya no se ni sumar.
necesito saber la formula para sacar numeros primos en excel... del 1 al 30, facil, no ?
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