domingo, 24 de octubre de 2004
Acertijo Premio. Torneo de resolución de Acertijos. Por Singing Banzo
Hace algún tiempo, tratando de hacer una animación en Flash, se me planteó el problema de girar un triángulo en la pantalla, para lo cual necesitaba conocer las coordenadas de sus vértices.
En la posición inicial, el triángulo se encuentra en (-4,2) (4,2) (0,-2) como se ve en la figura.
¿Cuales son las coordenadas de sus vértices luego de girarlo 45º en sentido horario?
Estuve largo rato planteando complicadas ecuaciones (que no dudo muchos lectores de este blog sacarán sin mosquearse), pero me di cuenta de que es posible resolverlo de manera muy simple, sin grandes conocimientos de matemáticas ni ningún decimal (apenas el teorema de Pitágoras y un poco de imaginación).
|Dicho por Singing Banzo a las 11:55 PM|
Con este problema comienzo a pagar los premios a los ganadores del torneo.
Gracias Singing Banzo.
A ver si los demás se animan.
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16 comentarios:
Sabemos que la hipotenusa mide 8 unidades, por Pitágoras nos da que los catetos miden raÃz de 32.
Al gira el triangulo, el punto inferior estará a una distancia de punto (0,0) de 2 y por Pitágoras sabremos que la nueva posición es (-raÃz2, -raÃz2) => (-1,4142 , -1,4142)
Para los otros dos puntos basta sumar la dimensión de los catetos al punto anterior quedando entonces en (-raÃz 2, (raÃz32-raiz2)) y ((raÃz32-raÃz2), -raÃz2) =>(-1,4142 , 4,2426) ( 4,2426 , -1,4142 )
¡ Este es muy sencillo !
La respuesta serÃa
(?,?) = ( -raiz(2), 3*raÃz(2) )
(raiz de 32 = raiz(2^5) = 2^(5/2) = 2^2 * 2^(1/2) = 4 * raiz(2) )
Se ve muy fácil en el primer dibujo, trazando lÃneas por las diagonales de los cuadrados (la cuadrÃcula)
Cada diagonal de cuadrado mide raiz(2)
El eje x_girado pasa por (-1,-1) del primer dibujo. Desde (-1,-1) a (-4,2) recorre 3 diagonales de cuadrado (+3*raiz(2)).
Por redundar en lo mismo que los dos madrugadores anteriores se me ocurre sobredibujar los nuevos ejes (x' y') en la primera figura antes de hacer ningún cálculo. Estarán girados 45 grados en sentido antihorario.
Estos nuevos ejes tienen como "unidad de coordenada" la diagonal del cuadrado (en lugar del lado).
Los tres vértices expresados en x'-y' están en (-1,-1); (-1,3) y (3,-1) y para pasar de este sistema al anterior x-y basta multiplicar por raÃz (2) cada coordenada.
Basta conocer la raÃz de dos y sus misterios, por ejemplo que éste número (la diagonal del cuadrado unitario) fué la base matemática de los arquitectos, que en el siglo XII "inventaron" la bóveda de crucerÃa que caracterizó la aparición del estilo gótico, pero este no era el tema, lo sé.
Asesinos! No lo dejaron vivir ni una mañana! =)
Perfectamente resuelto. Mi razonamiento se parecÃa más al de ACid, pero por supuesto la solución de itn es equivalente. Y muy interesante el aporte arquitectónico de disinerge.
Ya que estamos, acá va el gráfico solución, donde se destacan las lÃneas a tener en cuenta para obtener las coordenas del primer punto:
Quedo a la espera de los problemas de los demás ganadores para desquitarme!
Bueno, el gráfico no salió, asà que lo dejo como link:
click para ver
Bueno, el gráfico no salió, asà que lo dejo como link:
click para ver
Tarde como siempre.
Sabemos que la hipotenusa tiene 8 de largo
Los catetos tendrán 64=2bcuadrado b=raÃz32.
Una vez girado el triángulo el vértice de los catetos queda a -raÃz2 de cada eje de coordenadas (0,0) con lo que el vértice superior por simple resta nos queda en (raÃz32-raÃz2);(-raÃz2). El otro será (-raÃz2);(raÃz32-raÃz2)
Las coordenadas de los dos vértices cateto-hipotenusa son iguales (invirtiendo el orden) porque es un triángulo isósceles.
Buen problema, Singing. Una pena haber llegado tarde. Además me gustó mucho la solución de los ejes diagonales; muy elegante y fácil de entender.
Esta resuelto, pero solo para dejar el comentario: girar figuras en el plano se hace muy facil multiplicando por numeros complejos. Para girar algo 45 grados a la derecha hay que multiplicar por
raiz2
( 1 - i )
2
Entonces, por ejemplo, el vertice (0,-2), que pensado en el plano complejo corresponde a -2i, va a parar a
(raiz2 / 2) (1 - i) (-2i) = (raiz2/2) (-2-2i)
= raiz2 ( -1 - i).
Es una especie de "forma activa" de rotar, en lugar de una "forma pasiva". Uno no resuelve ecuaciones, simplemente calcula a donde van a parar las cosas.
justo iba a escribir lo mismo que matÃas! Ahora no lo escribo nada.
amazing.
Coincido con Singing... Amazing
Todos los dÃas se aprende algo nuevo.
SuponÃa que para un matemático el problema podÃa ser trivial, pero no me imaginaba que la solución serÃa tan linda como la que dió MatÃas, o tan lúcida como la que dio Disinerge. Y eso que ya la solución que habÃa encontrado el propio Singing (y que reencontraron varios) me parecÃa genial.
y tenemos otra versión, sin usar números complejos, pero multiplicando vectores por matrices: la rotación de 45 grados manda el (1,0) al (raiz2/2, -raiz2/2), y el (0,1) al (raiz2/2, raiz2/2)... con lo cual se puede calcular multiplicando por la matriz de la rotación los vértices... pero no sé cómo meter la matriz en el html sin que se deforme :(
|raiz2/2 -raiz2/2| |x|
|raiz2/2 raiz2/2| |y|
como se saca la medida de una diagonal del cuadrado
quiero saber como se resuelbe la hipotenusa de una triangulo rectangular, si la hipotenusa mide 10 cm y una de los catetos mide 8 cm ¿cuanto mide el otro cateto?
esta muy facil todo lo que ponen yo estoy en 2º de secundaria y esto lo aprendi en 2º de primaria y todo me lo se de memoria deberian poner algo mas dificil
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