Tenemos para elegir los números naturales entre 1 y 99.
Hay que elegir la mayor cantidad posible de forma tal que no haya dos o más que sumen 100.
¿Cual es la mayor cantidad de números que podemos elegir?
A igualdad de cantidad, es mejor el conjunto cuya suma total es menor.
¿Cuál es la menor suma total que podemos obtener?
Este problema (o uno similar) fue creado, si mal no recuerdo, por Héctor San segundo
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31 comentarios:
Disculpen pero yo obtuve estas dos listas para la primer pregunta, la de la izquierdaresponde la segunda. Como sé que no debe estar bien (por el nivel de los otros problemas)alguien puede decirme en qué me equivoco? gracias.
1 99
2 98
3 97
4 96
5 95
6 94
7 93
8 92
9 91
10 90
11 89
12 88
13 87
14 86
15 85
16 84
17 83
18 82
19 81
20 80
21 79
22 78
23 77
24 76
25 75
26 74
27 73
28 72
29 71
30 70
31 69
32 68
33 67
34 66
35 65
36 64
37 63
38 62
39 61
40 60
41 59
42 58
43 57
44 56
45 55
46 54
47 53
48 52
49 51
50 50
La suma de la primer columna da 1275. Este número es el menor número posible, proveniente de la suma de la mayor cantidad posible de números tal que entre ellos ninguno sume 100.
Pero sé que me equivoqué porque no consideré suma de 3 o más numeros....
Veamos:
Santiago: Tu respuesta "no se" es clara y concisa y no tengo nada que objetarle :-)
Con respecto a la segunda pregunta, parece que no me expliqué bien: se trata en realidad de elegir la mayor cantidad posible de números (la cantidad de la pregunta 1) y que además la suma sea mÃnima.
Huevo:
Tu columna de la derecha, efectivamente cumple con la condición de que no hay dos o más números que sumen 100. La pregunta es: ¿Esa es la mayor cantidad? ¿Esa es la suma mÃnima?
Tu columna de la izquierda no sirve ya que con varios de ellos se puede sumar 100 (1+49+2+48 por ejemplo)
1,2,3,...,13.
Mayor cantidad de números: 13
Menor suma obtenida: 13*14/2 = 91
Bueno... Huevo acaba de mostrar un conjunto de 50 números (50, 51, ... 98, 99) que es un poco más que 13 :-)
Perdón, entendà que no podÃan sumar más de 100.
De haber sido asÃ, serÃa otro problema cuya solución es la que envié...(espero)
Siendo asà las cosas, habrá que pensarlo un rato.
(Espero que no se resuelva por FB)
Tengo una solución muy bonita, nada de FB, pero no tengo una demostración de que sea la mejor...
Markelo, me aproveché de un hueco legal de la redacción :P
Ya decÃa yo que habÃa algo raro... logo nuevo. Me gusta, tiene un no se qué de mil y una noches
asÃ?
1,98,97,96,...,50 (50 números) Σ=3627
reemplacé el 99 por el 1, también se podÃa el 98 con el dos pero la suma 1 + 2 + 97 = 100. y si solo reemplazaba el 98 (o el 97 o 96 o 95!!waw!) la suma aumenta.
No es de depravado, pero el comentariohecho a las 11:24PM el 7 de febrero.... me sonó raro....
¡¿depravado?! Pues sà que lees raro. Yo lo que decÃa es que la redacción de la segunda pregunta deja responder 1, pero que lo hice con afán de broma, porque ya sabÃa que no era l que se querÃa decir. Y que espanto tener que explicar los chistes, el siguiente, que piense lo que quiera
A simple vista parece que ya está resuelto. Pero si se mira bien tiene bastante juego. No estoy seguro que sea la mÃnima pero existe al menos un conjunto de 50 números cuya suma es 3315.
Yo llegué a una suma de 3419 reemplazando de la lista de los 50 originales (50 al 99) el rango de 51 a 67 por sus correspondientes complementos (49 a 33). Con este criterio me aseguro que no hayan 3 números que sumen 100.
QuedarÃan del 33 al 50 y del 68 al 99.
Hola PAC, Tanto tiempo.
Dijo David:
A simple vista parece que ya está resuelto. Pero si se mira bien tiene bastante juego
Efectivamente, aun queda mucho (mucho) por mejorar.
Igual, David, comentá como obtenés los 3315 para ver si alguien se inspira y lo mejora.
Si no hay avances, mañana daré algunas ideas.
La antigua solución era:
25-34, 50-65, 76-99 (suma = 3315)
Ahora tengo otra mejor:
21-25, 35-50, 66-74, 80-99 (suma = 3215)
Y estoy convencido que se puede superar, como afirma Markelo. Estoy trabajando en un patrón entre algunas de las soluciones que han salido. Pronto lo colgaré.
Hola a todos!!
Siento ser destructivo y no aportar nada por ahora, pero David, de tu segunda solución: 21+35+44=100
Por lo menos estamos todos de acuerdo en que 50 es la cifra máxima de números.
Yo estoy bloqueado, sólo veo los 3627 de Huevo, como solución
Hola, tengo una solución de 2941 puntos y que creo que está bien...
Consiste en elegir los múltiplos de tres menores de 50, i.e.: A=[3,6,9...,48] (ninguna combinación de este subconjunto A sumará 100). 16 números.
Luego hay que deshechar los números que cumplan B=100-A; y elegimos los los números C que cumplan C>50 y C no pertenece a B; i.e. C=[50,51,53,55,...,95,96,98,99].
En total 50 números y suma igual a 2941.
Estoy seguro de que se puede mejorar
Fe de erratas:
C=[50,51,53,54,...,95,96,98,99], en total 34 números
Bien, como son demasiados números sólo paso y digo que me encantó el bichito raro que hay detrás del nuevo logo.
Bueno... menos mal que Kano estaba bloqueado. :-)
Su solución es la misma que yo tengo, aunque varÃa levemente la explicación.
Se las cuento por si a alguno le interesa:
Elegimos primero todos los múltiplos de 3 (3, 6, 9 ... 96, 99)
Sumándolos, nunca obtendremos 100 ya que no es múltiplo de 3.
Elegimos luego a partir de 50, todos los números que son múltiplo de 3 menos 1: (50, 53, 56 ... 95,98)
No podemos sumar más de 1 porque sumando 2 ya supera los 100.
Además, si los sumamos con los múltiplos de 3, nunca obtendremos 100 ya que este es múltiplo de 3 +1 (es decir, deja resto 1 cuando lo dividimos por 2)
No tengo demostración de que este sea nomás el mÃnimo, pero no parece que se pueda superar.
Pareciera obvio que no se pueden elegir más de 50 números... pero no se me ocurre como probarlo :-(
waw!!
lo de los 50 máximo es fácil. Por cada uno elegido hay uno que sumado a ese da 100. Al elegir 50, quedan 50 "complementos" (en realidad 49), y el 51ésimo serÃa forzosamente uno de ellos.
Por cierto, si se eligen 50, el "50" tiene que estar entre ellos, porque él mismo es su complemento.
Enhorabuena, Kano!!!
Bueno, gracias..., dije que estaba seguro que habÃa alguna solución mejor porque no seguà probando, pero a veces también se tiene suerte..
Utilizando el método de Kano y el de Markelo, me sale que la suma es de 2842 y no de 2941. La diferencia es de 99.
Esto es hecho en Excel, posiblemente tengo errores, pero por si acaso me lo hacen saber.
Ya arreglé el error y efectivamente el resultado es el indicado por los compañeros: 2941.
LO QUE ESCRIBIO SANTIAGO ES LO MISMO QUE CREO ESTE TIPO A LOS 8 AÑOS Q NO ME ACUERDO EL NOMBRE
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