domingo, 22 de mayo de 2005
Publicado por
Markelo
en
20:29
Etiquetas: Acertijos con números, balanzas y pesas
Etiquetas: Acertijos con números, balanzas y pesas
Continuando con la serie de acertijos y problemas con balanzas, les propongo uno que me envió Jean Paul y que me resultó original y novedoso.
Dice Jean Paul:
Se tienen catorce monedas aparentemente iguales, pero una de ellas tiene un peso ligeramente distinto (moneda "falsa") y no se sabe si pesa más o menos que las demás (monedas "auténticas"). Además se tiene una moneda que ya se sabe que es auténtica. Usando una balanza de platillos, con tres pesadas, determinar cuál es la moneda falsa.
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25 comentarios:
Una consulta, son 14 monedas que incluyen la falsa y la verdadera? o la verdadera la tenemos aparte y son 15 en total?
pues igual que en pesadas V, retirando previamente la autentica y otra...
Mas de lo mismo.
Pongo 7 y 7 --- primera pesada.
Pongo 3 y 3 segunda pesada.
pongo 1 y 1 tercera pesada.
La diferencia esta que debo reemplazar una de las 14 monedas problema, por la que tengo aparte que se que es autentica, asi elimino la variable de que no se si es o no mas pesada que las otras, la que estoy buscando.
No lo explico mas detalladamente porque ya lo hice y lo hicieron en los otros problemas.
mmmm... me parece que está muy por arriba eso...
Si cuando ponés 7 y 7 la balanza se inclina supongamos que a la derecha. Cuáles tomás para poner 3 y 3? Por más que sepas en que plato está la verdadera no podés saber si la falsa es más liviana o más pesada.
Este da para pensarlo un cachito más...
Antes que nada, gracias Markelo por darle al problema un espacio en tu blog.
Efectivamente, es una variante del problema de las 12 monedas. Tiene más gracia si no se lo conoce (hubiera preferido que Markelo no hubiera puesto el de las 12 asà se complicaba más, jeje), pero igual hay que pensarlo un poco.
Son 15 en total, pero digamos que 14 es el número que "importa" porque es el número de monedas entre las cuales hay que determinar cual es la falsa (a diferencia de las 12 (13 serÃa más correcto) del otro problema).
Aja, parece que nadie entendio la respuesta que di arriba, cuando en
realidad esta mas clara que el agua. Entonces me veo obligado a
tomarme un largo tiempo para explicarles esto.
Tengo 2 grupos de monedas, uno formado por una moneda autentica y el
otro con 14 monedas, 13 autenticas y una falsa(mas pesada o liviana)
y no se cual es cual.
Con estos datos yo se una cosa antes de comenzar a pesar, que si a este
grupo de 14 lo divido en 2 de 7 monedas, al ponerlo en la balanza de 2
platos esta se inclinara. Esto sera porque la moneda mas pesada esta en el
plato de abajo, o la moneda mas liviana en el plato de arriba.
Ahi es donde usamos la moneda que sabemos que es autentica.
Ponemos 7 monedas en cada plato y la balanza se inclina, OK?
Ahora ponemos la autentica en el plato de arriba, iniciando asi la
primera pesada.
Pueden ocurrir 3 cosas:
1.- El plato con 7 monedas sigue abajo.
2.- La balanza se equilibra.
3.- El plato de 8 monedas se va abajo.
Para el caso 1 y 2, la logica nos dice, que la moneda falsa es mas
pesada que las autenticas, y esta en el plato de abajo o en el que
subio hasta el equilibrio.
Porque?
(***)
Facil !!, si la moneda falsa fuera mas liviana estaria en el plato de
arriba, al poner la verdadera en este plato, tendriamos 7 y 7
verdaderas y en el plato de arriba una falsa, que por mas liviana que
sea, pesa, y hara bajar este plato.
Entonces tomamos las 7 del plato de abajo, dividimos en 2 grupos de 3
y uno de 1 moneda.
Ponemos 3 y 3 en la balaza(Segunda pesada), pueden ocurrir 2 cosas:
a.- Equilibrio, y la moneda falsa la tenemos en la mano.
b.- Desbalance, y la moneda falsa estara en el plato de abajo. Es la
mas pesada se acuerdan??
Vamos al caso numero 3 de arriba, en la primera pesada.
Repito lo de (***) si la moneda falsa fuera mas liviana estaria en el plato de
arriba, al poner la verdadera en este plato, tendriamos 7 y 7
verdaderas en cada plato y en el plato de arriba una falsa, que por mas liviana que sea, pesa, y hara bajar este plato.
Entonces tomamos estas 8 monedas, sacamos la autentica que conozco, y
a las 7 las dividimos en 2 grupos de 3
y uno de 1 moneda.
Ponemos 3 y 3 en la balaza(Segunda pesada), pueden ocurrir 2 cosas:
a.- Equilibrio, y la moneda falsa la tenemos en la mano.
b.- Desbalance, y la moneda falsa estara en el plato de arriba. Es la
mas liviana se acuerdan??
Como veran, yo la descubri en 2 pesadas y no en 3 como lo piden, calculo
que esto sera porque Markelo y Jean Paul consideran como una pesada
a las 7 y 7 monedas en la balanza desequilibrada, antes de poner la
autentica, pero como ya dije antes, la cantidad de pesadas varia
segun como cada persona considere una pesada completa, cuando el
enunciado no lo aclara.
Para mi, la primera pesada termina cuando pongo la moneda autentica
en el plato de arriba.
Se entendio??
:-)
Joder hermanos, que me hacen escribir che.
Repito, es mas de lo mismo. JEJE.
:-)
Vos decÃs que al poner la 8va moneda en el plato de arriba, si este cae es porque tenÃa la liviana y con esto serÃan 7 y 7 verdaderas y que el peso de la liviana lo tira hacia abajo. Para mi no es tan simple.
Pongamos valores al problema: imaginate que las verdaderas pesan 10g y la falsa es más pesada y pesa 11g. Según tu razonamiento tenemos:
Izq 70g - Der 71g ---> la balanza va a la derecha.
Al poner la 8va moneda del lado izquierdo tendrÃas:
Izq 80g - Der 71g ---> la balanza cae hacia la izquierda, vos sacarÃas la 8va y pesarÃas 3 y 3.
Cuando la balanza quede equilibrada y vos des por falsa la que tenés en la mano vas a perder plata... :D
Si suponemos que la falsa (si es más pesada) pesa el doble de las verdaderas tu método funciona (la balanza quedarÃa equilibrada cuando pongas la 8va en la izq)
PERDON.
Siempre fui de aceptar cuando me equivoco, aunque aveces me duele en lo mas profundo de mi orgullo, creo que a todos nos pasa, pero solo algunos aceptan su error.
La verdad es que me quise hacer el canchero pensando el problema asi no mas, y escribiendo la frase: "es mas de lo mismo". Y me sali para la mi....a la canchereada.
Che entiendan que de verdad, hoy rendia el parcial del laboratorio de quimica, y tenia que sacar 8 o mas para promocionar y evitar el final. Creo que me fue bien.
Ahora con respecto a esto, acabo de leer el comentario de RealHomero y quede helado al ver que tenia razon, me equivoque, pero sabia que la solucion andaba por ahi cerca, la escribo a continuacion. JEJEJE.
:-)
Utilizando las 15 monedas dividimos en tres grupos de cinco monedas y los llamamos A(con la moenda verdadera), B y C
Pesamos A y B
Obtendremos dos resultados:
1- Peso equilibrado dejando la moneda falsa en el "C" y teniendo "A" y "B" con 10 monedas verdaderas
Dividimos el Grupo "C" en C1 con 3 monedas y C2 con 2 monedas
tomamos C1 y pesamos con 3 monedas verdaderas
Obbtenemos dos resultados:
1- peso equilibrado dejando la moneda falsa C2
tomamos 1 moneda de C2 y la pesamos con una verdadera
Obtenemos dos resultados:
1- Peso equilibrado: La falsa es la que no pesamos de C2
2- peso diferente: esa es la moneda
2- peso diferente: la moneda esta en C1 y de acuerdo para donde vaya la balanza sabemos si es mas pesada o mas liviana
tomamos 2 de C1 y las pesamos entre si, si la balanza varia y de acuerdo a si es mas pesada o liviana sabremos cual es la falsa. si no varia la falsa es la que quedo si pesar de C1
2- peso diferente, dejando la falsa en "A" el cual supondremos que es mas liviano o "B" el cual supondremos que es mas pesado y teniendo ahora 5 monedas verdaderas en "C"
Dividimos "A" en dos grupos "A1" con 3 monedas y "A2" con 1 moneda ya que sacamos la original que sabemos es verdadera
Dividimos "B" en dos grupos "B1" con 3 monedas y "B2" con 2 moneda
tomamos "A1" y "B1" y las pesamos con "C" agregando la moneda original que sabiamos era verdadera y estaba en el grupo de "A"
obtenemos tres resultados:
1- la balanza da mas pesado al grupo de "A1" y "B1" sabiendo asi que la falsa es mas pesada por ende tiene que estar en "B1"
pesamos 2 monedas de "B1" entre si, la balanza dira cual es la mas pesada entre ellas siendo esta la falsa o sera equilibrado dando la falsa a la que no se peso
2- la balanza da mas liviano al grupo de "A1" y "B1" sabiendo asi que la falsa es mas liviana y por ende tiene que estar en el grupo de "A1"
pesamos 2 monedas de "A1" entre si, la balanza dira cual es la mas pesada entre ellas siendo esta la falsa o sera equilibrado dando la falsa a la que no se peso
3- la balanza da peso equilibrado dejando la falsa entre "A2"(1 moneda) y "B2" (2 monedas)
juntamos la moneda de "A2" con 1 moneda de "B2" y las pesamos con dos monedas de "C" (monedas verdaderas)
obtenemos tres resultados
1- la balanza da mas pesado al grupo de "A2" y "B2" dejando la falsa en "B2"
2- la balanza da mas liviano al grupo de "A2" y "B2" dejando la falsa en "A2"
3- la balanza da equilibrado dejando la falsa en la moneda nno pesada de "B2"
Espero que sea asi porque estuve todo el dia con esto :(
Utilizando las 15 monedas dividimos en tres grupos de cinco monedas y los llamamos A(con la moenda verdadera), B y C
Pesamos A y B
Obtendremos dos resultados:
1- Peso equilibrado dejando la moneda falsa en el "C" y teniendo "A" y "B" con 10 monedas verdaderas
Dividimos el Grupo "C" en C1 con 3 monedas y C2 con 2 monedas
tomamos C1 y pesamos con 3 monedas verdaderas
Obbtenemos dos resultados:
1- peso equilibrado dejando la moneda falsa C2
tomamos 1 moneda de C2 y la pesamos con una verdadera
Obtenemos dos resultados:
1- Peso equilibrado: La falsa es la que no pesamos de C2
2- peso diferente: esa es la moneda
2- peso diferente: la moneda esta en C1 y de acuerdo para donde vaya la balanza sabemos si es mas pesada o mas liviana
tomamos 2 de C1 y las pesamos entre si, si la balanza varia y de acuerdo a si es mas pesada o liviana sabremos cual es la falsa. si no varia la falsa es la que quedo si pesar de C1
2- peso diferente, dejando la falsa en "A" el cual supondremos que es mas liviano o "B" el cual supondremos que es mas pesado y teniendo ahora 5 monedas verdaderas en "C"
Dividimos "A" en dos grupos "A1" con 3 monedas y "A2" con 1 moneda ya que sacamos la original que sabemos es verdadera
Dividimos "B" en dos grupos "B1" con 3 monedas y "B2" con 2 moneda
tomamos "A1" y "B1" y las pesamos con "C" agregando la moneda original que sabiamos era verdadera y estaba en el grupo de "A"
obtenemos tres resultados:
1- la balanza da mas pesado al grupo de "A1" y "B1" sabiendo asi que la falsa es mas pesada por ende tiene que estar en "B1"
pesamos 2 monedas de "B1" entre si, la balanza dira cual es la mas pesada entre ellas siendo esta la falsa o sera equilibrado dando la falsa a la que no se peso
2- la balanza da mas liviano al grupo de "A1" y "B1" sabiendo asi que la falsa es mas liviana y por ende tiene que estar en el grupo de "A1"
pesamos 2 monedas de "A1" entre si, la balanza dira cual es la mas pesada entre ellas siendo esta la falsa o sera equilibrado dando la falsa a la que no se peso
3- la balanza da peso equilibrado dejando la falsa entre "A2"(1 moneda) y "B2" (2 monedas)
juntamos la moneda de "A2" con 1 moneda de "B2" y las pesamos con dos monedas de "C" (monedas verdaderas)
obtenemos tres resultados
1- la balanza da mas pesado al grupo de "A2" y "B2" dejando la falsa en "B2"
2- la balanza da mas liviano al grupo de "A2" y "B2" dejando la falsa en "A2"
3- la balanza da equilibrado dejando la falsa en la moneda nno pesada de "B2"
Espero que sea asi porque estuve todo el dia con esto :(
Solucion.(Revisenla por favor).
Separo las 15 monedas en 3 grupos.
Grupo A: 1 moneda Autentica y 4 dudosas.
Grupo B: 5 dudosas.
Grupo C: 5 dudosas.
Analizare siempre primero las opciones de equilibrio, para no perderme.
Pesada 1.
Comparo el grupo A con el B.
Equilibrio en pesada 1.
----
.............................
Conclusion: Grupo A y B autenticas. Grupo C dudosas.
Pesada 2.
Comparo 3 autenticas con 3 del grupo C.
Equilibrio en pesada 2.
---
Conclusion: La dudosa es una de las 2 que quedan.
Pesada 3.
Comparo una autentica con una dudosa.
Equilibrio en pesada 3, conclusion: la dudosa es la que me quedo.
Desbalance en pesada 3, conclusion: la dudosa es la que se que no es la autentica.
Desbalance en pesada 2.
---
Las opciones del desbalance son dos:
Hacia el plato de autenticas, donde una de las 3 dudosas es mas liviana.
Hacia el plato de las dudosas, donde una de estas 3 sera mas pesada.
Pesada 3.
Comparo dos dudosas entre si.
Equilibrio en pesada 3, conclusion: la dudosa es la que me quedo.
Desbalance en pesada 3, conclusion: Si en la pesada 2 el desbalance fue hacia las autenticas(la dudosa es liviana), en este caso la falsa estara en el plato superior.
Si en la pesada 2 el desbalance fue hacia las dudosas(la dudosa es pesada), en este caso la falsa estara en el plato inferior.
-
Desbalance en pesada 1.
----
.............................
Conclusion: Grupo C autenticas.
Las opciones de desbalance son dos:
1.- El plato del grupo A abajo, donde conjeturo: Grupo A: La autentica que conocemos, mas 4 dudosas de ser pesadas, y el grupo B: 5 dudosas de ser livianas.
Separo y marco las dudosas de ser liviana y las dudosas de ser pesadas.
2.- El plato del grupo A arriba, donde conjeturo: Grupo A: La autentica que conocemos, mas 4 dudosas de ser livianas, y el grupo B: 5 dudosas de ser pesadas. Separo y marco las dudosas de ser liviana y las dudosas de ser pesadas.
Pesada 2.
Analizare solo el primer caso de desbalance en la pesada 1, ya que el segundo sigue el mismo razonamiento.
Comparo: 6 autenticas(5 del grupo C y la que se que es autentica) con 3 dudosas de ser pesadas y 3 dudosas de ser livianas.
Equilibrio en pesada 2.
---
Conclusion: La dudosa es, la marcada como dudosa pesada, o una de las dos dudosas marcadas como liviana.
Pesada 3.
Comparo: las 2 dudosas de ser livianas.
Equilibrio en 3 pesada: la falsa es la que me quedo. Y es mas pesada.
Desbalance en pesada 3: la falsa es la del plato de arriba. Y es mas liviana.
Desbalance en pesada 2.
---
Aqui tambien las opciones de desbalance son dos:
a.- El plato de las autenticas abajo, donde conjeturo: que las 3 marcadas como dudosas pesadas son autenticas, y una de las dudosas livianas es falsa.
b.- El plato de las autenticas arriba, donde conjeturo: que las 3 marcadas como dudosas livianas son autenticas, y una de las dudosas pesadas es falsa.
Pesada 3.
Analizare solo el caso "a" de desbalance en la pesada 2, ya que el caso "b" sigue el mismo razonamiento.
Comparo: dos dudosas livianas entre si.
Equilibrio en la pesada 3, conclusion: la falsa es la que me quedo, y es liviana.
Desbalance en la pesada 3, conclusion: la falsa es la del plato superior y es liviana.
Las otras opciones estan contempladas en mi razonamiento, no las escribo porque solo cambia el numero de dudosas pesadas por el de dudosas livianas, pero se procede igual.
El chiste estaba, en separar las dudosas pesadas, de las dudosas livianas.
Me hizo acordar al problema de los 4 focos, y que llave los encendia.
Por favor controlen si esta bien.
Ojala se haya entendido.
Chau.
:-)
Bien, lei el comentario de Guess, que para mal mio se me adelanto un par de minutos en la respuesta correcta. Creo que tanto la de el como la mia son soluciones.
Muy lindo el problema, pero muy dificil e explicarlo por medio de la escritura, con decirles que lo empece a escribir despues de mi comenterio de PERDON, y miren la hora a la que lo envie.
En fin, de pelos esta pesada.
:-)
Guess, adivinaste! (sepan disculpar el chiste fácil). La solución es correcta.
Sythriel, la solución también es correcta.
QuerÃa mencionar algunas cosas. Como ya se hizo, el problema de las 12 monedas podÃa también hacerse con 13, con la diferencia de que hay entonces un caso en el que sabemos cual es la moneda falsa pero no sabemos si es más pesada o más liviana que las demás.
Agregando la moneda auténtica, se consigue aumentar las 8 del desequilibrio del problema de las 12 monedas a 9 en este, pero los razonamientos son análogos.
También cuando se tiene desequilibrio en la primera pesada por ejemplo, en lugar de poner después 6 auténticas de un lado y 3 de A (dudosas livianas(o pesadas)) y 3 de B (dudosas pesadas (o livianas) en el otro, se pueden poner 2 de B con una de A en un lado y 2 de B con una de A en el otro. Asà se evita hacer uso de las auténticas y en caso de que se supiera cuales son "dudosas livianas" y cuales "dudosas pesadas", pero que no se tuvieran monedas que con seguridad son auténticas, el problema se podrÃa resolver igual.
Jean Paul me olvide de felicitarte por este problema, creo que fue uno de los mejores que tuve que resolver en estos ultimos meses. Fue invento tuyo?
:-)
La variante esta se me ocurrió a mi después de hacer el de las 12 monedas, pero ese en si el problema. La manera en que hay que hacer las pesadas es realmente la misma.
Super bien las respuestas de guess y sythriel. A mà me tomó desde 25 en la noche hasta el 28 al medio dÃa solucionarlo. Escribir la solución no he podido. pero llegué a la solución de A B C y A1 B1 y todo eso...
Gracias.
Propongo un enigma que es algo diferente.
Tenemos 24 monedas, sabemos que una de ellas es falsa porque su peso es menor.
¿Cómo en tres pesadas podrÃa descubrirse cual es la falsa?
es lo mismo que el anterior problema, de hecho ya lo habia pesado ants que vos lo postearas. esta vez en vez.
dividimos al grupo de 24 en 3 de 8
a (00000000) b (00000000) c (00000000)
"a" baja, esta ahi
"b" baja, esta ahi
"a y b" pesan lo mismo, esta en "c"
ahora, suponiendo que este en "c"
c1 (00) c2 (oo) c3 (oo)
"c1" baja, esta ahi.
"c2" baja, esta ahi.
"c1 y c2" pesan lo mismo, esta en "c3"
ahora nos quedan solo un par de monedas. utilizamos nuestro
ultimo pesaje, para averiguar cual es la que mas pesa.
es lo mismo que el anterior problema, de hecho ya lo habia pesado ants que vos lo postearas. esta vez en vez.
dividimos al grupo de 24 en 3 de 8
a (00000000) b (00000000) c (00000000)
"a" baja, esta ahi
"b" baja, esta ahi
"a y b" pesan lo mismo, esta en "c"
ahora, suponiendo que este en "c"
c1 (00) c2 (oo) c3 (oo)
"c1" baja, esta ahi.
"c2" baja, esta ahi.
"c1 y c2" pesan lo mismo, esta en "c3"
ahora nos quedan solo un par de monedas. utilizamos nuestro
ultimo pesaje, para averiguar cual es la que mas pesa.
uy pense cualquiera.. aver esperame un toke q ahora si lo resuelvo...
perdon por la gansada de recien. Acá esta la solucion:
dividimos al grupo de 24 en 2 de 9 y 1 de 6
a (000000000) b (000000000) c (000000)
"a" baja, esta ahi
"b" baja, esta ahi
"a y b" pesan lo mismo, esta en "c"
ahora, suponiendo que este en "c"
c1 (00) c2 (00) c3 (oo)
"c1" baja, esta ahi.
"c2" baja, esta ahi.
"c1 y c2" pesan lo mismo, esta en "c3"
ahora nos quedan solo un par de monedas. utilizamos nuestro
ultimo pesaje, y sacamos la pesada, dado que son solo pares.
ahora suponiendo que haya estado en "a" o en "b"
"a1"(ooo) "a2"(000) "a3"(000)
"a1" baja, esta ahi
"a2" baja, esta ahi
"a1 y a2" pesan lo mismo, esta en "a3"
usando nuestro ultimo pesaje
"a1x"(0) "a1y"(0) "a1z"(0)
"a1x" baja, esa es
"a1y" baja, esa es
"a1x y a1y" pesan lo mismo, la mas pesada es "a1z"
muy bueno su pagina, primera vez que entro.. de seguro no la ultima!!!
ah... mas "liviana" !!!!! bueno .. es lo mismo.. poer en vez de eliminar las que suben, eliminamos las que bajan....
Dividimos las monedas en tres grupos de 8 cada uno:
A, B y C. Pesamos el A y el B (primera pesada)
Si:
A y B son iguales la moneda falsa está en C.
Si A es más liviana está en A y si es más liviano B está en B
Quedo con un grupo de 8 monedas.
Formo otros grupos: A(000), B(000) y C(00)
Pongo A (000) y B (000) en la balanza (segunda pesada):
Si A es más liviana está en A, si es más liviana B está en B, si son iguales está en C
Si está en A o B (grupos de tres monedas) pesos dos de ella (tercera pesada). Si son iguales la moneda falsa es la que no pesé. Si la balanza se inclina para abajo en alguna de las monedas esa es la falsa. Si A y B son iguales y la falsa está en C como es un grupo de dos monedas uso la tercer pesada para determinar cuál es la falsa.
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