Ya les había mencionado alguna vez, esa costumbre mía de escribir y escribir números sin sentido. La mayoría de las veces, solo fue gasto de tinta y papel; pero, eventualmente, encuentro alguna curiosidad que quizá de para algún acertijo.
Por ejemplo:
Escribimos una larga fila con todos los números naturales en forma ordenada y sin dejar espacios entre ellos. 1234567...etc, etc.
En algún momento, nos encontramos con un capicúa.
Por ejemplo, el primer capicúa de dos cifras es el 11.
¿Cual es el primer capicúa de tres cifras?
No es necesario llegar al 111. En efecto, en la unión de los números 10 y 11 podemos leer el 101 (y entre los números 11 y 12 leemos el 111)
¿Cuál es el primer capicúa de cuatro cifras que aparece? ¿y de 5, 6 y más cifras?
Por último, tengo una pregunta que, más que esperar una respuesta exacta, pretende hacerles experimentar una cierta perplejidad frente a los grandes números.
Luego de años y años de escribir ordenadamente los números naturales, uno a continuación de otro... ¿llegará un momento en que escribiremos un número y, al terminar de escribirlo, toda la fila sea un enorme (monstruoso) número capicúa?
Por momentos imagino que si... por momentos imagino que no.
¿Ustedes que opinan? (si alguno tiene una respuesta categórica, bienvenida. Si no, bienvenidos los divagues)
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24 comentarios:
me parece que eso es como pedir que pi no sea irracional...
mañana con tiempo me pondré a buscar respuesta a las primeras preguntas...
De 4 encontré el 1001 (La unión de 100 y 101).
De 5 el 11111 (Unión de 111 y 112).
Hay otro de 5 antes, el 11011 (entre el 110 y el 111).
de 6. 110011 (lo forman el 1100 y 1101)
De 6 hay uno antes, si se puede empezar y acabar en cero: 001100, que viene de la unión de 1001 y 1002.
Y de 7, 1010101, unión de 1010 y 1011, e inmediatamente después 1011101, unión de 1011 y 1012.
Me apunto con la pregunta filosófica. Cuando llegue a algo lo comparto.
Respecto a la pregunta más difÃcil, intuyo que NO.
De forma intuitiva, si existiese, acabarÃa en ...10987654321
y anteriormente existirÃa un [...10987654320] y un [...10987654319] etc. que no encajan al darlas la vuelta con la sucesión de cifras inicales.
Quizá se vea mejor de otra forma: En los 9 primeros números están las cifras 123456789 y luego esa estructura creciente del 1 al 9 ó mejor dicho del 0 al 9 se repite en una de cada 2 cifras, en las siguientes 90, luego se repite en una de cada 3 cifras en las siguientes 900... Si lo das la vuelta nunca vas a conseguirlo. Para conseguir obtener 123456789 necesitas un número de 9 cifras 987654321 pero antes de ese número está el 987654320, el 987654319, .... es decir una cantidad muy grande números que no encajan: no tienen la misma estructura ce cifras crecientes de 0 a 9. Intuitivamente se ve que cuanto más grande se hace el último número para que coincida con la secuencia dada la vuelta, los problemas introducidos crecen exponencialmente.
Siento no poder dar una explicación mejor.
O la pregunta era demasiado sesuda... o quedaron demasiado perplejos...
¿Nadie más se anima?
Las dos cosas...
Si se aceptan capicúas de una cifra, cuando escribimos el primer número tenemos un capicúa... :)
Si no, como Acid, intuyo que no es posible. Estoy buscando un argumento fácil de explicar, pero no he encontrado ninguno todavÃa...
Lorena:
Eso no los detuvo antes :-)
Homero:
Me arruinaste el chiste :-)
Estaba esperando alguna demostración sesuda de la imposibilidad, para despues dar el contraejemplo.
Vamos a eliminar una restricción con lo cual la explicación de ACid se caerÃa (aunque muy bien no la entendÃ)
Obviemos la parte que dice "al terminar de escribirlo"
La pregunta es la misma. ¿En algún momento, toda la fila será capicua?
Ahora podrÃamos tener algo como
321......01987654 y el siguiente número comenzarÃa con 321... ¿podrá ser capicua?
todos los últimos elementos de la lista empezarÃan igual, tendrÃamos por decir algo 123... 567... 567... 567..., es decir una secuencia que aunque cortemos en cualquier punto (es decir no al terminar de escribirlo), serÃa necesario encontrar invertida entre los primeros números.
Ya sé que no es demostración, pero sà un gran estorbo para lograrlo. Es más, la primera aparición del 765 tiene que ser, si los últimos números tienen x cifras, antes del equÃsimo número, y la segunda antes del dosequÃsimo (es decir, el x y el 2x, suena feÃsimo).
Falta ver que no aparecen, pero yo estoy amaneciendo apenas, y no carburo tanto antes de otro café
todos los últimos elementos de la lista empezarÃan igual, tendrÃamos por decir algo 123... 567... 567... 567..., es decir una secuencia que aunque cortemos en cualquier punto (es decir no al terminar de escribirlo), serÃa necesario encontrar invertida entre los primeros números.
Ya sé que no es demostración, pero sà un gran estorbo para lograrlo. Es más, la primera aparición del 765 tiene que ser, si los últimos números tienen x cifras, antes del equÃsimo número, y la segunda antes del dosequÃsimo (es decir, el x y el 2x, suena feÃsimo).
Falta ver que no aparecen, pero yo estoy amaneciendo apenas, y no carburo tanto antes de otro café
todos los últimos elementos de la lista empezarÃan igual, tendrÃamos por decir algo 123... 567... 567... 567..., es decir una secuencia que aunque cortemos en cualquier punto (es decir no al terminar de escribirlo), serÃa necesario encontrar invertida entre los primeros números.
Ya sé que no es demostración, pero sà un gran estorbo para lograrlo. Es más, la primera aparición del 765 tiene que ser, si los últimos números tienen x cifras, antes del equÃsimo número, y la segunda antes del dosequÃsimo (es decir, el x y el 2x, suena feÃsimo).
Falta ver que no aparecen, pero yo estoy amaneciendo apenas, y no carburo tanto antes de otro café
disculpen la repetición. Disculpen la repetición. Disculpen la repetición.
Markelo, parece que los comentarios sà quedan, aunque después de enviarlos aparece una página de error.
Con el tema del spam... me olvidé de comentar esto:
Merfat: ¡Me arruinaste el template! (pero valió la pena ;-)
Con respecto al acertijo... pareciera que estamos todos de acuerdo en que no es posible.
Supongo que harÃa falta un matemático para tener una demostración más cierta... aunque es muy probable que en ese caso... no la entenderÃa.
Mientras que en el sistema decimal habria que parar la lista (talvez?) en la primer cifra, en binario la lista se podria alargar un poco, 11011.
Hablo muy rápido Markelo?
Che Weo. Esto es buenÃsimo ¿No hay más adelante?
¿No les plantea esto una pequeña duda de si se puede o no se puede en base decimal?
(Esta semana hubo varios "regresos". Hola Weo)
En binario esa (la de weo) es la más larga.
Se toma una cadena, y se fija uno en la serie más larga de ceros que contenga. Los ceros no empiezan los números, asà que la serie serán los últimos dÃgitos de un número 10000...0. Para ser palindrómica, la cadena debe tener su justo medio en la mitad de esa serie, porque no tiene una pareja que reflejar, porque es la más larga. El número que sigue es 1000...01, y el que precede es 1111...1. Con lo cual el centro de la cadena quedarÃa de la sigueinte forma:
1111...1100..010..01. Y si el centro no es palindrómico, la cadena entera tampoco.
Me estoy dando cuenta de que el mismo razonamiento se puede usar con los decimales, y creo que con cualquier otro sistema que use arábigos y posiciones. En el caso del decimal, el centro de la cadena supuesta serÃa del tipo 999...91000..01000..1, donde es más evidente el asunto.
La gracia del de weo es que el que sigue al 10 no tiene ceros, y puede reflejar lo anterior. Un número de esos es necesario en cualquier cadena que quiera ser palindroma, en cualquier sistema de numeración del género, y sólo funcionará en binario.
En "trinario" quedarÃa una cosa 12101112, usando cuatro dÃgitos 12310111213, etc, y siempre antes del 10 hay un dÃgito distinto de 1, y después de él, una serie de unos.
ah, se me olvidaba:
quod erat demonstrandum
ah, se me olvidaba:
quod erat demonstrandum
Le comenté a un amigo de este problema y me mostró un error en el razonamiento. Fuera del sistema binario, puede haber más de una "cadena más larga de ceros" (i. e. 20, 30,...), asà que va una afinación: si la cantidad de cadenas más largas de ceros es impar, se toma la central y se aplica el razonamiento anterior. Si es par, se toman las dos extremas, que deben ser una reflejo de la otra. La primera será la del 100...0, y la última puede ser cualquiera, pero a los ceros no les seguirá un 1, es una cosa de la forma x00...0x.
Markelo, la costumbre de este señor me recordó la tuya...
Qué buen dato, Homero.
Se ve que tiene letra un poco grande.
HabÃamos calculado poco más de 1400 páginas y le tomó casi 20000.
Y habÃamos dicho 23 dÃas y le tomó 16 años.
Del dicho al hecho ... :-)
Lo habÃamos charlado aquÃ
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