Vamos a seguir gastando papel y lápiz (aunque no tanto como la vez pasada)
Escriban los números del 1 al 1000.
Luego, comenzando por el 1 vayan tachando uno de por medio (es decir, tachen 1, 3, 5, 7... etc)
Vuelvan al principio y tachen uno de por medio de los números que quedan (es decir, 2, 6, 10, 14... etc)
Vuelvan a repetir el proceso hasta que quede un solo número.
¿Cuál es el último número que queda sin tachar?
Si se animan, encuentren la regla general y digan cuál es el último que queda sin tachar entre los números 1 y el 1000000 (que seguramente ya tienen escritos del acertijo anterior)
Suscribirse a:
Enviar comentarios (Atom)
9 comentarios:
Observo que en la primer tachada, sobreviven los multiplos de 2.
Despues de la segunda tachada sobreviviven los multiplos de 4...
despues de la tercer tachada sobreviven los multiplos de 8= 23 ... AHA!!!
etc...
Además, en la primera eliminación quedan 500 vivos, en la segunda 250, en la tercera 125 y asÃ, 62 (porque el último se tacha), 31, 15, 7, 3, 1. Es decir, el que queda es 2^9=512. Para el caso general se podrÃa hacer lo mismo, pero resultarÃa larguÃsimo, creo. Se puede asegurar que es la primera potencia de dos más arriba de 500000, que es 524288 (2^20. Esto por lo que dijo Lorena, y porque el primer número que queda en cada paso es justo la potencia. Si es menor que la mitad, habrá otro en la segunda mitad, el que está entre el medio y el final no tiene múltiplos antes del fin.
Además, se me hace que para cualquier número natural distinto de 1 hay una potencia de dos mayor o igual que su mitad y menor que él.
Bueno, creo que el razonamiento de Santiago es correcto.
Al 1000 se lo puede dividir 9 veces en la mitad, tomando los enteros, tal como cuando convertimos un número decimal en binario.
1) 1000 / 2 = 500 (resto 0)
2) 500 / 2 = 250 (resto 0)
3) 250 / 2 = 125 (resto 0)
4) 125 / 2 = 62 (resto 1)
5) 62 / 2 = 31 (resto 0)
6) 31 / 2 = 15 (resto 1)
7) 15 / 2 = 7 (resto 1)
8) 7 / 2 = 3 (resto 1)
9) 3 / 2 = 1 (resto 1)
Resultado 1100100 (Binario) = 100 (Decimal) - 7 bits
Resultado 1111101000 (Binario) = 1000 (Decimal) - 10 bits
Resultado 10011100010000 (Binario) = 10000 (Decimal) - 14 bits
Resultado 11110100001001000000 (Binario) = 1000000 (Decimal) - 20 bits
2^19 = 524288
Siempre será igual a 2 elevado al número de bits - 1 de su correspondiente binario.
Creo, que MI procedimiento es simplemente desastroso.
Si señor. Y como caso lÃmite, si la cantidad de números elegidos es exactamente potencia de dos, el número que queda es el último.
No hay mucho que agregar ya. Hice un par de fórmulas en Excel para simular las tachadas para los primeros 1000 y vi que el primero de cada pasada era potencia de 2, y el último (512) era poco más de la mitad de 1000.
Hecho esto me puse a ver todas las potencias de dos, y llegando al final vi que venÃa: 262.144; 524.288; 1.048.576... Epa!!! me pasé! tiene que ser el 524.288!
Yo hice lo siguiente:
probé con los nros del 1 al 10
con n del 1 al 10
- n: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
tachando:
- 2,4,6,8,10 o sea queda 2n
tachando otra vez
- 4,8 o sea 4n
tachando una vez más
- 8 o sea 8n
entonces quedó n, 2n, 4n, 8n
o sea que quedó an con a=potencia de 2 o 2^k
y acá me tiré a la pileta y arriesgué que el
último número se obtiene con la mayor potencia de
2 posible en el intervalo del uno al 10.(esto no se
como justificarlo y/o demostrarlo)
entonces si quiero hacer todo sin tachar busco la
mayor potencia entera del intervalo 1-10
2^k>> 2^16 = 65.536 serÃa el nro que quedarÃa sin tachar.
ah! y para el 1000
k>>> 2^9=512
FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo FE DE RATAS:
Parece que el signo < si no se lo pone con espacios
hace que todo se vea enquilombado. No se mucho de
programación pero creo que se lo usa para mandar
los datos a un puntero o algo asÃ. Bueno ahà va el post
ahora si se ve bien.
Yo hice lo siguiente:
probé con los nros del 1 al 10
con n del 1 al 10
- n: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
tachando:
- 2,4,6,8,10 o sea queda 2n
tachando otra vez
- 4,8 o sea 4n
tachando una vez más
- 8 o sea 8n
entonces quedó n, 2n, 4n, 8n
o sea que quedó an con a=potencia de 2 o 2^k
y acá me tiré a la pileta y arriesgué que el
último número se obtiene con la mayor potencia de
2 posible en el intervalo del uno al 10.(esto no se
como justificarlo y/o demostrarlo)
entonces si quiero hacer todo sin tachar busco la
mayor potencia entera del intervalo 1-10
2^k < 10
ln(2^k) < ln(10)
kln(2) < ln(10)
k < ln(10) / ln(2)
k < 3.32....
y como k es entero el nro que busco es 3
y veo que 2 ^ 3 es 8, el mayor valor entero de "dos elevado a algo" en el intervalo
entonces si mi suposicion esta bien hecha deberÃa servir para cualquier nro por ej 100000
2^k < 100000
k < ln(100000)/ln(2)
k < 16,6096
entonces elijo el 16 entonces 2^16 = 65.536 serÃa el nro que quedarÃa sin tachar.
ah! y para el 1000
k < ln(1000)/ln(2)
k < 9.96
o sea elijo el 9 entonces 2^9=512
FE DE eRATAS II(a ver si ahora se entiende):
donde dice
"entonces si quiero hacer todo sin tachar busco la
mayor potencia entera del intervalo 1-10
2^k ln(2^k) kln(2) k k"
en la última lÃnea es:
2^k(menorque)10
tomo logaritmos
ln(2^k)(menorque)ln(10)
kln(2)(menorque)ln(10)
k(menorque)ln(10)sobreln(2)
k(menorque)3,32....
donde dice:
"entonces si mi suposicion esta bien hecha deberÃa servir para cualquier nro por ej 100000
2^k k k"
en la última lÃnea debe decir
2^k(menorque)100000
k(menorque)ln(100000)/ln(2)
k(menorque)16.6096
--
y donde dice
"ah! y para el 1000
k k o sea elijo el 9 entonces 2^9=512"
en la última lÃnea debe decir
---
k (menorque) ln(1000)/ln(2)
k (menorque) 9.96
o sea elijo el 9 entonces 2^9=512
-
Consejo para escribir los 1000 dÃgitos de una forma divertida:
Si tenemos 1000 dÃgitos y lo que hay que hacer es tachar números hasta que solo nos quede uno, debemos visualizarlo como una pirámide en la que se van eliminando cada 3 (uno de cada extremo). Podemos llegar a la conclusión de que el número que buscamos lo vamos a encontrar en una posición media dentro de la pirámide(ojo: no exactamente en el centro)
La respuesta ya está demás que yo la escriba, claro que todos la sabemos.
saludos,
Sir Einstein de Monterrey
Publicar un comentario