Por un error de fabricación, en la fábrica de balanzas hubo una sobreproducción de pesas de 5 Kg. y de 17 Kg.
Agrupándolas (sumándolas) convenientemente, podemos conseguir algunos valores si y otros no. Por ejemplo:
5
10 (5+5)
15 (5+5+5)
17
20 (5+5+5+5)
22 (5+17)
Etc.
Se podría pensar que, a medida que aumentamos los valores, siempre nos quedarán algunos sin lograr, pero no es así.
A partir de cierto valor es posible conseguir todos los números de kilos consecutivos mayores a N
¿Cuál es el mayor valor que no puede conseguirse sumando pesas de 5 y 17 Kg?
Y si la sobreproducción hubiese sido de pesas de 9 y 13 Kg... ¿Cuál sería el mayor valor no conseguible con ellas?
Suscribirse a:
Enviar comentarios (Atom)
1 comentarios:
Pongo algunos de los 7 comentarios recibidos:
1. HD Says:
Noviembre 8, 2006 at 6:16 am e
Tendríamos una ecuación como:
n = 5x + 17y, donde:
x=0,1,2,3,4,5,…
y=0,1,2,3,4,5,…
Para y=0: n=0,5,10,15,20,…
Para y=1: n=17,22,27,32,37,…
Para y=2: n=34,39,44,49,…
Para y=3: n=51,56,61,66,…
Para y=4: n=68,73,78,83,…
A partir de y=5 ya no nos interesa porque volvemos a tener números terminados en 0 ó 5, 2 ó 7, 4 ó 9, etc. El primer número terminado en 3 (que es el dígito que tarda más en mostrarse) que aparece es el 73 por lo tanto 63 sería el mayor valor que no puede conseguirse. Haciendo una tabla representando los valores de x,y con su respectiva suma n se puede ver mas claramente todo ésto.
Saludos.
2. disinerge Says:
Noviembre 8, 2006 at 3:05 pm e
Hola después de tanto tiempo, Markelo. Me alegro por tu nueva página.
Para dos pesas cualquiera de pesos A y B, la mayor pesada “imposible” es AxB-A-B.
En el primer caso 5×17-5-17=63 y en el segundo 9×13-9-13=95
Siento no poder daros una explicación elegante, ha sido una inspiración.
Por esa misma razón no puedo afirmar al 100% que la fórmula vale siempre pero el estómago me dice que si. A ver si alguien más puesto en mates (de las que no se beben) nos alumbra.
3. Markelo Says:
Noviembre 8, 2006 at 11:56 pm e
Hola Disinerge. Bienvuelto. de a poco nos vamos reencontrando todos.
La respuesta de HD es correcta y la fórmula de Disinerge… ¡También!
Solo faltó agregar que funciona cuando los dos números no tienen factores primos en común. (por ejemplo no funcionaría para 12 y 21)
Quizá alguno se anime con la demostración, o puede que Disinerge nos cuente como le llegó la inspiración :-)
4. 26 Says:
Noviembre 9, 2006 at 6:48 am e
Solo por meter el dedo en el ojo, diría que la fabrica era de pesas para halterofilia o para gimnasio, porque para balanza podemos pesar cualquier cantidad de kilos (en balanza podemos restar).
Para el caso de 5 y 17 me entretuve en ver el mínimo de pesas necesarias para lograr pesar de 1 a 10 Kg. y resulta que precisamos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y 10 pesas según sea el número buscado.
Pero no en ese orden.
5. Lorena Says:
Noviembre 9, 2006 at 10:33 am e
Acá va un intento de demostrar la fórmula de Disinerge (inspirado en el comentario de HD).
Sean A y B dos números coprimos.
En primer lugar, definimos k, un entero positivo tal que con pesas de A y B kilos, se pueden lograr pesos de (Ak + r) kilos, con r=0,…,A-1. Ahora veamos quién es k:
- A.k+r se puede escribir como A(k-j_r)+(A.j_r + r), donde A.j_r + r es múltiplo de B (y j_r positivo). No tengo la demostración de esto ahora, pero seguro que es cierto siendo A y B coprimos. Entonces A.k + r se puede obtener con pesas de A y B kilos, siempre que k-j_r sea positivo.
El mínimo valor de k (el mayor valor de j_r) es B-1. (Sí, tampoco tengo la demostración general, pero seguro que sale con algo de teoría de números)
Con esto, vemos que todos los pesos iguales o mayores a A(B-1) se pueden obtener con pesas de A y B.
Pero además, se pueden obtener los pesos A.k-1, A.k-2, …, A.k-(B-1):
- A.k-r se puede escribir como A(k-j_r)+(A.j_r - r) donde A.j_r-r es positivo y múltiplo de B. Y j_r es menor o igual a B-1 para r=1,…,B-1.
Con esto, vemos que todos los pesos mayores o iguales a A(B-1)-(B-1)=AB-A-B+1 se pueden obtener con pesas de A y B kilos.
Faltaría ver que AB-A-B NO se puede obtener con esos pesos, con lo que se demostraría que es el mínimo.
Publicar un comentario