Todos los días solemos realizar un pequeño sorteo con Julio y Verne.
Coloco en una caja diez papelitos numerados del 1 al 10 y saco uno al azar.
Julio, invariablemente apuesta por el 9; en cambio Verne elige un número cualquiera.
A lo largo del tiempo: ¿Quién ha ganado más veces nuestro sorteo? ¿O acaso ganarán más o menos la misma cantidad de veces?
(Leído al pasar en un libro de John Allen Paulos)
Update:
Me llegué otra vez a la librería y volví a hojear el libro de contrabando y descubrí que había leído a medias y entendido menos aun.
En realidad la pregunta de JAP era sobre el número que gana con más frecuencia (que ahora si comprobarán que es el 9) reflexionando sobre alguna afirmación que escuchó sobre los juegos de azar.
Gracias a quienes intentaron desasnarme pacientemente y a quienes, a pesar de todo, intentaron dar una respuesta.
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39 comentarios:
Mi primera impresión es que debería ser más o menos la misma cantidad de veces...
Pero luego pienso que quizá haya algo que pasé por alto... (casi siempre lo hay en enigmas como estos).
Por ejemplo: ¿los papelitos son del mismo tamaño (quizá el 10 sea más grande)? ¿en caso de empate (si Verne elige al azar el 9 también y resulta salir el 9) tiene alguno preferencia?
supongo q las probabilidades de q salga el papelito q cualquiera de los dos tienes es siempre 1/10 asi q los dos deberian tener un numero parecido de aciertos
PD: interesante blog n.n
Supongamos que los papelitos son iguales y que ninguno tiene mayor o menor probabilidad de ser sacado... En este caso, cuando dice "saco uno al azar" sería realmente al máximo azar ya que la probabilidad de todos es la misma: 1/10.
Ahora bien, supongamos que hay algunos con mayor probabilidad... (por ejemplo, que unos papeles sean más grandes, con lo que son sacados más veces que otros). Aún en este caso, creo que Verne acertaría en media una de cada 10 veces. Si el 9, al que apuesta Julio, tiene también una probabilidad de 1/10 entonces sería normal que acertasen más o menos la misma cantidad de veces. Si la probabilidad del 9 es menor que 1/10 lo normal sería que Julio ganase menos veces y si fuese mayor que 1/10 lo normal sería que Julio ganase más veces.
Por supuesto, al ser azar aunque uno tuviese menor probabilidad de ganar en teoría existe la posibilidad de que gane más veces que el otro.
Por supuesto, hay que idealizar el problema.
Los 10 papelitos tienen la misma probabilidad de salir.
Cuando Julio elige cualquiera, lo hace al azar con la misma probabilidad para todos.
Por supuesto (ejem) arriba quise decir
Cuando VERNE elige cualquiera, lo hace al azar con la misma probabilidad para todos.
¿qué pasa cuando verne también pide el 9 (y sale el 9)? creo que ahí puede sacar una pequeña ventaja, pero me hice bolas con los cálculos.
La idea era que si ya tiene una ventaja, se dedica a a pedir 9 siempre, y Julio nunca lo va a poder alcanzar
Como casi siempre en Pequeños Enigmas, no hacen falta cálculos complicados.
Respondiendo a tu pregunta, no importa si Verne elige eventualmente el 9 (en promedio una de cada 10 veces)
Para no complicar los cálculos, digamos que si ambos eligen el 9 y sale... entonces ganan los dos.
Hasta ahora muy dubitativos... Lo dejamos un día más.
Pues con lo que has dicho creía que mis dudas se habían evaporado... ¡pero NO!
Acabo de descubrir una gran trampa en el problema, que puede ser la clave.
Parecía claro que en cada suceso ambos tienen la misma probabilidad de ganar: 1/10.
Pero esperad un momento, el problema dice: "Julio, invariablemente apuesta por el 9; en cambio Verne elige un número cualquiera." Según el contexto, sin que se haya dicho explícitamente nuestra mente nos lleva a pensar que Verne elige un número del 1 al 10 al azar... pero nunca se dijo que eligiese un número del 1 al 10, sino "un número cualquiera". Verne podría elegir números del 1 al 1000 o del 1 a un millón...
Entonces, la probabilidad de ganar Verne ya no sería 1/10 sino mucho menor: 1/1000, 1/1000000 ...
De esta forma, es de esperar que ganase Julio más veces.
Como el problema no está catalogado como "Cazabobos", no creo que haya trampa en la frase "Verne elige un número cualquiera".
Yo hice el siguiente razonamiento de 7 pasos:
1) Julio tiene invariablemente un 10% de posibilidades
2) Verne, con el resultado puesto de Julio, tiene un 90% de posibilidades que el número que salga NO sea el 9 (NO9)
3) Es decir que Verne tiene un 10% de posibilidades que salga un número NO9 (1/9 de 9 chances) si ha elegido un número NO9
4) Ambos tienen un 10% de posibilidades mientras que el número que salga sea un NO9
5) Como hay un 10% de posibilidades que el número que salga sea 9, la chance está a favor de Julio
6) Se resta algo por el 10% de posibilidades que Verne elija el 9 y que sea el caso que salga el 9 (10% de 10% = 1%)
7) Julio tendría un 9% más de posibilidades de ganar
No estoy seguro de la lógica de todos los pasos pero estoy seguro que por ahí anda el tema.
efectivamente no se trata de un cazabobos.
Alejo: Después lo leeré con más detenimiento, pero me temo que no va por allí la cosa.
más tarde pondré una pregunta a manera de pista.
Bueno , ¿que entiendes por ganar?
Es decir cada vez que extraes un numero y acierta alguno de ellos , este gana , no?
O gana el que saca el numero mas cercano?
Quizá es ese el "truco"?
Yo había dado por supuesto que gana el que eligió un número IGUAL al sacado al azar de la caja.
Si ganase el que dijo el número más cercano, como plantea Jose, Verne estaría en ventaja.
Si Verne elije el 8 gana el 80% de las veces y Julio sólo el 20%, si elige 7 gana el 80% de las veces (si están a igual distancia entiendo que ganan ambos) y Verne el 30%,
HAGO UNA TABLA:
NV:VERN:JULIO
-------------
10:010%:090%
09:100%:100%
08:080%:020%
07:080%:030%
06:070%:030%
05:070%:040%
04:060%:040%
03:060%:030%
02:050%:050%
01:050%:060%
En media:
Verne:
(10+100+80+80+70+70+60+60+50+50)/10=63%
Julio:
(90+100+20+30+30+40+40+50+50+60)/10=51%
interesante... pero obviamente gana el sorteo el que acierta el número.
(Me mata esto de "escriba algo inteligente", porque ya me gustaría a mí poderlo hacer)
La pregunta es que quién habrá ganado más veces a lo largo del tiempo y la respuesta es: ¡el que tenga más suerte! Creo que esto es irrefutable. No obstante veamos otra posibilidad.
Julio como algunos dijeron, tiene un 10% de posibilidades de ganar, ya que su número en una larga sucesión de insaculaciones ("incajaciones" en este caso), saldrá una vez de cada 10.
Sin embargo, Verne elige el número que le viene en gana ("un número cualquiera") y no un número al azar, por lo que quizás pueda "forzar" un poco la suerte a su favor.
Por ejemplo, podría seguir una estrategia eligiendo siempre el 9 hasta el momento en que salieran 2 seguidos (ó 3). Hasta aquí, empataría siempre con Julio. En el momento de la repetición de nueves, escogería un número al azar distinto de 9. Posteriormente volvería a escoger el 9 hasta una nueva repetición.
No sé como expresar esto matemáticamente, pero intuyo que alguna vez acertará ese número distinto de 9 y conseguirá a lo largo del tiempo, más aciertos que Julio.
...olvidé suscribirme al post...
Oloman, muy interesantes tus cosicas ;)
Pon un lado, la estrategia que planteas creo que no mejoraría la suerte de Verne. Ya que cuando salen 2 (ó 3) nueves seguidos y verne elige otro, puede salir otro 9 (con un 10% de probabilidad) y perdería Verne. Creo que lo que te llevó a pensar que eso daba ventaja a Verne es lo que se conoce como "falacia del jugador", que viene a decir que si un número se repite hay que jugar a otro "porque sería mucha casualidad que apareciera una vez más", lo cual es como decir que los números al azar tienen memoria y tienden cuanto antes a equilibrar sus apariciones. En todo caso, sería al contrario: si un sistema tiene un fallo, entonces un número saldrá más veces que otros (por algún desequilibrio o imperfección... ocurre en las Ruletas de los Casinos) y hay que apostar a esos que salen más veces, no al contrario. Pero en este caso tampoco Verne puede aprovechar esto, pues los números salen en perfecto azar: "Los 10 papelitos tienen la misma probabilidad de salir.".
Por otro lado, me temo que olvidaste un detalle... Markelo dijo: "Cuando VERNE elige cualquiera, lo hace al azar con la misma probabilidad para todos."
Así que eso creo que no concuerda con el caso que planteas (que Verne sea libre para elegir números según una "estrategia").
Por mi parte, tengo poco más que añadir. Ganará más veces el que tenga más suerte, como dice Oloman... y creo que tienen la misma probabilidad de acertar en cada sorteo, así que tras un número de sorteos el número de veces que acertó cada uno es de esperar que fuese similar. Si el número de sorteos es N, la "esperanza" del número de aciertos tanto de Julio como de Verne sería N/10, con una desviación esperada sobre ese valor (que no he calculado) cuya magnitud "esperada" es igual en ambos casos.
La variable aleatoria que modela el número de aciertos se conoce como Binomial de N y p (N = número de experimentos de Bernoulli, y p = probabilidad de éxito de cada experimento). La media (esperanza) de la Binomial es N*p (en este caso N*0,1 = N/10) y la varianza (desviacion al cuadrado) es N*p*(1-p) = N*0,1*0,9 = N*9/100
Esto quiere decir que si se hacen 100 sorteos, lo esperado (y además, lo más probable) sería que Julio acierte 10 veces, pero sobre ese valor de 10, puede haber un error de 9... así que sería "bastante normal" que si hacemos el experimento de 100 sorteos varias veces el número de veces que gana Julio oscilaría entre 1 y 19 en la mayoría de los casos. [esto que digo es como idea aproximada]
Bueno... vamos bastante desencaminados.
verne no sigue ninguna estrategia para ganar más. Simplemente elije al azar un número del 1 al 10.
No se si es tiempo de dar pistas... probemos con un par de preguntas que nada aclaran pero...
¿qué ocurre si sale un 9?
¿Qué ocurre si sale, digamos, un 4?
por lo de "Escriba algo inteligente" debo dar crédito a Itn que me propuso alguna vez (creo que en ocasión del post de las mandarinas) poner esa frase.
oops. escribimos juntos.
Coincidimos en lo que coincidimos. El resto tengo que releerlo... pero me temo que aunque lo que dices es correcto... no va por allí la cosa :-)
¿qué ocurre si sale un 9?
Julio Gana.
Verne ganaría sólo si eligió el 9 (es decir, en 1 de cada 10 casos)
¿qué ocurre si sale un 4?
Julio pierde.
Verne ganaría sólo si eligió el 4 (es decir, en 1 de cada 10 casos).
Si repasamos los 10 números:
Ns:JULE:VERNE
----------------
10:000%:010%
09:100%:010%
08:000%:010%
07:000%:010%
06:000%:010%
05:000%:010%
04:000%:010%
03:000%:010%
02:000%:010%
01:000%:010%
En media: Julio 10% y Verne 10%
Bien.
Ahora solo falta un paso más...
¿Cada cuanto sale en promedio el 9?
¿cada cuanto sale en promedio el 4?
Conocía lo de la falacia del jugador, pero a pesar de que matemáticas dicen lo contrario, siempre me ha costado creerlo.
De hecho, el sencillo "sistema" de apostar a rojo fijo en una ruleta, duplicando la apuesta en caso de fallo, funciona para asegurarse beneficios, aunque las matemáticas digan que pueden salir infinitos negros seguidos. Lo que ocurre es que para evitar este truco, el casino pone un límite de apuesta que lo desmonta.
No obstante, llevas toda la razón Acid, pero de verdad que es un tema que siempre me ha costado asumir. De todas formas tampoco me di cuenta de lo que dijo Markelo en un comentario en cuanto a la azarosa elección de Verne.
De todas formas, en este ratito se me ha ocurrido algo más, aunque vuelve a no ser nada matemático, sino más bien de pensamiento lateral... ¿el número que se saca se repone en la caja?
Si no es así, creo que la balanza se inclina del lado de Verne, puesto que participa en un sorteo puro 10 veces y Julio sólo puede ganar una vez.
oloman,
lo de duplicar la apuesta en caso de fallo se conoce como "Martingala" y tampoco lo considero un sistema "válido".
Hay que tener en cuenta varias cosas:
1. Aunque el casino no ponga límites, NADIE tiene dinero ilimitado!! (bueno, no se si Chuck Norris o el Tio Gilito...). Si la apuesta es de un euro y fallas 20 veces seguidas necesitarías más de 1 millón de euros para seguir apostando.
2. Pero en caso de ganar no ganarías nada más que un euro. Dicho de otra forma: cuando ganas, ganas poco, pero si pierdes necesitas mucho y llegará un momento que ese límite se agote. Suponiendo que nunca pierdes 5 veces seguidas (lo cual es mucho suponer, ya que eso debe ocurrir una de cada 32 veces que pierdes) y que cada apuesta dura 1 minuto, y que ganas 1 euro cada 3 minutos... lo cual ya he dicho que no es cierto, en una hora ganas 20 euros... con 40 horas semanales son 800 euros, 3200 mensuales y 38400 anuales. Algunos ganan más que eso, sin necesidad de disponer de un millón (por si las moscas). Como ya he dicho, lo normal es perderlo todo, ese límite... de por ejemplo, un millón. La mala racha de 20 fallos seguidos ocurre más de una vez cada millón de partidas... a partida por minuto, esto es en menos de 2 años.
3. Si sale el 0 (teóricamente una de cada 37 veces), la banca gana!
Conclusión: suponiendo condiciones NO REALES de buena suerte ganas 38000 al año... pero sin darse ninguna condición de mala suerte especial has perdido todo en 2 años!!! Y, por supuesto, LA BANCA GANA
* Un fallo: en mi anterior comentario los 2 años que transcurrirían para perderlo todo suponen juego contínuo (24 horas diarias, todos los días del año), lo cual no concuerda con el caso en que pasa un año ganando (en este son días de 8 horas y semanas de 40 horas)
Markelo,
¿Cada cuanto sale en promedio el 9?
10%
¿cada cuanto sale en promedio el 4?
10%
Julio gana el 10% de las veces.
¡¡Y Verne también!!
Verne:
10% del 10% = 1% (por el 9) + 1% (por el 10) + 1% (por el 1) + 1% (por el 2) + ... = 10% !!
Vaya por delante que aunque nos hemos comunicado poco directamente, he leido muchos comentarios tuyos en distintos sitios y siempre me han gustado tus razonamientos. Por cierto, siempre mucho mejor montados que los míos que normalmente son sólo intuitivos.
Y esto último es en lo único que me baso: soy un poco Santo Tomás y me cuesta creer que pueda salir 20 veces seguidas el mismo color, aunque te repito que sé que tiene que ser así. El problema es no he visto ninguna noticia ni conocido a nadie que me dijera que esto ha pasado alguna vez.
Yo mismo no he podido desarrollar los suficientes ensayos, por lo que me dejo llevar por los ajenos y empíricamente tengo que concluir que es imposible (o al menos harto improbable) que pueda suceder.
Y por favor, ¡no me mandes un enlace con una noticia sobre un resultado de 20 consecutivos! ;-)
(¿Cómo narices se hace para escribir un texto tan largo y presuntamente lógico, con tono jocoso?)
Oloman, gracias (si es que te referías mi, si no menudo ridículo estoy haciendo).
Lo de las 20 veces seguidas sólo ocurre una vez de cada millón (un poco más realmente, 2^20 = 1024*1204). así que es normal que no lo hayas visto.
Ver que es posible es fácil. Para simplificar usaré 1 para negro y 0 para rojo. Cada 2 veces sale 0, cada cuatro veces debería salir 00, cada 8 veces 000 ... Supongamos que sale 0000 (una de cada 16 veces) lo siguiente puede ser 0 ó puede ser 1... Otra cosa es que los del Casino pensasen que se rompió algo y fuercen un negro cuando sale rojo o al revés, pero quien esté delante protestaría. Yo he estado poco en el Casino y he visto rachas de 5 colores iguales seguidos (lo cual es "normal", debe ocurrir una de cada 16 veces)
¿Cada cuanto sale en promedio el 9?
10%
Bien
¿cada cuanto sale en promedio el 4?
10%
Bien
Julio gana el 10% de las veces.
Bien
¡¡Y Verne también!!
Me temo que no.
Una pregunta más para ayudar a pensarlo:
Imaginen otro sorteo entre 10 amigos (aldo, beto, carlos, etc)
Escribimos los 10 nombres en 10 papelitos y sacamos uno al azar.
El elegido gana.
Calculen la probabilidad de cada uno de ganar y, después, comparen este sorteo con el de Julio y con el de Verne
(si no lo sacan, ya tengo pensada la pista definitiva :-)
Mirad qué tontería se me ha ocurrido ahora:
Verne es un sinvergüenza que se guarda los números que no ganaron en sorteos anteriores!!
En el nuevo sorteo, si el no sale el número que eligió, buscará en los números anteriores que tiene guardados, para cambiarlo por el número que a salido.
Si no es eso me rindo. ;)
pensémoslo de esta manera:
Hay dos sorteos: Yo elijo un número del 1 al 10 y Verne elije otro del 1 al 10.
¿cuál es la posibilidad de que ambos números coincidan?
Bueno...
Debo confesar algo...
el libro de John Allen Paulos solo le di una mirada en una librería y me quedaron un par de frases que me sonaron lógicas.
Acabo de hacer un par de simulaciones en la compu y los números no dan como me imaginé.
Tal vez debería volver a la librería y darle una leída un poco mejor al asunto...
(¿Por que será que cada vez que me equivoco... esto se llena de comentarios? Voy a empezar a hacerlo a propósito :-(
Viendo con más detenimiento el problema, me sigue dando un 10% rotundo para todos los casos.
Existen 100 posibilidades
elegir el 1 y que salga el 1, el 2, el 3, etc.
Elegir el 2 y que salga el 1, 2, 3, etc.
Es un 1% para cualquier caso.
Ambos tendrán una probabilidad de acertar 10 veces
Para el caso de elegir el 9 y que salga o no el 9 es un 1% que se suma o no para ambos, no incide en el generar diferencias a favor o en contra.
Debe haber alguna frase adicional en el problema
Barrunto que la diferencia debería estar en el 1% para el caso que salga el 9 y que Julio lo gana sí o sí, y que una vez de cada 100 Verne también se lo lleva.
Pero ese 1% de Verne es el que necesita para completar su 10%
Markelo,
no te preocupes, pasa en las mejores familias ;)
Por cierto, ¿qué libro de John Allen Paulos era? Yo leí el de "Un matemático invierte en la bolsa", pero se que tiene más libros, como "Un matemático lee el periodico", "El hombre anumérico", etc...
Respecto a este acertijo la verdad es que cuando se dijo que no era cazabobos ya vi poca salida.
Estoy con Acido , si no hay truco en la interpretacion del enunciado , o del tipo de no volver a introducir las papeletas que salen , etc...parece que las matematicas aqui son claras...
Bueno... ya actualice con un tardío mea culpa.
Por si a alguno le interesa, el libro en cuestión es "Erase una vez un número" de John Allen Paulos
Seguramente lo compraré. Primero porque parece interesante y, segundo, porque el librero ya me estuvo mirando con malos ojos.
Sin ser un perito en la materia, yo opino que el que habrá ganados más veces a lo largo del tiempo es Julio ya que seguramente en algún momento el 9 tiene que salir; en cambio como Verne va cambiando el número elegido es más posible que NUNCA gane.
Por ejemplo:
Nºs de Verne__________Nºs que salen
4_____________________6
2_____________________5
6_____________________8
1_____________________6
3_____________________9
4_____________________1
8_____________________4
9_____________________3
5_____________________4
7_____________________2
2_____________________9
3_____________________7
...
En fin, el punto es que para que Julio nunca gane lo que tiene que ocurrir es que nunca salga el 9 y para que Verne no gane lo que tiene que ocurrir es que el nº que él eligió no coincida con el que sale. Esto último creo yo que es mucho más probable que aquello primero (que NUNCA salga el número 9).
Supongamos que hacen el sorteo durante un año ¿cuántas veces habrá salido el 9 en 365 sorteos? si bien la probabilidad de que ninguna vez de las 365 salga el 9 existe, yo creo que dicho número habrá salido unas cuantas veces.
Así que para mí la respuesta es ésa: Julio.
Tengo una idea, el proceso de eleccion de verne esta gobernado por dos sucesos aleatorios, se puede ver de esta forma, verne primero saca de una bolsa con 10 numeros para elejir el numero, y luego se saca de la bolsa para el sorteo en el caso de verne la probabilidad es 1/10 x 1/10 =1/100 y en el caso de julio 1/10 con lo que imagino julio va a ganar mayor cantidad de veces.
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