domingo, 30 de mayo de 2004
En el viaje de regreso a Tucumán, me puse a garabatear sobre una hoja cudriculada. Dibujé 3x3 puntos y me puse a buscar todos los triángulos diferentes que se pueden dibujar utilizando los puntos como vértices de los mismos.
Por diferentes entiendo que no se puedan superponer por rotación, traslación o reflexión.
No fue tan difícil. Hay 8 posibles triángulos y aquí se los muestro:
Pero (siempre hay un pero) cometí un error. Omití un triángulo y repetí otro.
¿Cuál es el triángulo que falta y cuál el que está repetido?
Un poco más difícil (y más desafiante) es encontrar, en las mismas condiciones, todos los triángulos distintos que se pueden construir en una cuadrícula de 4x4.
¿Cuántos y cuales son los triángulos que se pueden dibujar en esta cuadrícula?
Los números están para facilitar las respuestas en los comments. Ustedes tienen que suponer que los círculos son solo puntos en el plano
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31 comentarios:
Una última aclaración (por las dudas)
Para este juego, entenderemos que, por ejemplo, los triángulos 1-2-6, 10-7-11, 11-12-15, etc, son exactamente iguales y cuentan como uno solo ya que pueden superponerse unos a otros simplmente rotándolos, reflejándolos o trasladándolos.
En cambio, consideraremos distintos a, por ejemplo, 1-3-11 y 1-4-16 aunque tengan los mismos ángulos interiores.
El 145 y 127 están repetidos. Falta el que se puede formar con con el 186.
Los triángulos repetidos no son 145 y 127, sino 146 y 127 (cambia el 5 por el 6).
el que falta es el triangulo 1-5-9 (si bien sus lados estan superpuestos es considerado un triangulo) los lados son (1-5) (5-9) y (1-9)
El primero es simple. El 2do. si es un poco más complicado porque es más común estar repitiendo figuras. Las que encontré con algún lado racional, suponiendo que la distancia entre dos puntos adyacentes es uno, son 24: 1 5 6, 1 5 7, 1 5 8, 1 5 10, 1 5 11, 1 5 12, 1 5 14, 1 5 15, 1 5 16, 1 9 6, 1 9 7, 1 9 8, 1 9 10, 1 9 11, 1 9 12, 1 9 14, 1 9 15, 1 9 16, 1 13 10, 1 13 11, 1 13 12, 1 13 14, 1 13 15, 1 13 16. Son 24 entonces con algún lado de longitud racional. Para los demás seleccionaba un punto, tachaba el resto de los puntos de la fila y columna en el que estaba, seleccionaba otro punto, tachaba con el mismo criterio y elegÃa el tercer punto. Asà encontré los triángulos: 1 6 15, 1 7 10, 1 7 14, 1 7 16, 1 8 11, 1 8 14, 1 8 15 y 1 12 15. Son 8. Son 32 en total.
Ejem, error tonto(y tendrÃa que retirar lo de simple supongo). El 1 5 9 no se considera un triángulo ya que la suma de dos lados cualesquiera en un triángulo debe ser mayor que el otro, y en estos casos sumarÃan igual, con lo cual no es un triángulo.
dije cualquiera jejejeje
El que sobra 1-4-6
El que falta 1-6-8
Jean Paul, yo también seguà tu técnica. Pero me salieron 30. He visto los fallos que has cometido, revÃsalo.
Para la primera estoy de acuerdo con los demás.
pregunta fuera de tópico: markelo, estoy viendo la estadÃstica de los que mas comentan, ¿¿ese Mario soy yo???
saludos!
Mario
aahh! ya vi que es un proceso automático el que incrementa la estadÃstica, por lo que es la suma de los marios :D
saludos!
Mario
Utilice en mismo razonamiento que Jean Paul y para mi son 31.
En el primer paso (con al menos un lado horizontal o vertical), los que estan de mas son el 1-9-10 (coincide con el 1-5-7) y el 1-13-14 (coincide con el 1-5-8).
En la segunda parte del procedimiento de JP falta considerar el 1-7-12.
Serian 22+9.
...y también el 1 9 12 coincide con el 1 13 15. El 1 7 12 coincide con el 1 6 15. Asà que por el momento cuento 29. David, no sé si habré omitido alguno. TendrÃa que buscarlo, pero...cuál es?
Son 21 + 9
PAC:
Excelente trabajo y muy buena técnica.
Te edité un poco el mensaje para que quede más encolumnado.
Ante esta solución de PAC no puedo decir más que ¡muy bueno!
Efectivamente son 29, y corregà unos pequeños fallos insignificantes.
01)1-5-6.....1.....1.....r(2)
02)1-5-10....1.....r(2)..r(5)
03)1-5-7.....1.....2.....r(5)
04)1-5-11....1.....r(5)..r(8)
05)1-5-14....1.....r(5)..r(10)
06)1-5-15....1.....r(8)..r(13)
07)1-5-8.....1.....3.....r(10)
08)1-5-12....1.....r(10).r(13)
09)1-5-16....1.....r(13).r(18)
10)1-9-6.....r(2)..r(2)..2
11)1-9-14....r(2)..2.....r(10)
12)1-7-10....r(2)..r(5)..r(5)
13)1-13-10...r(2)..r(5)..3
14)1-6-15....r(2)..r(5)..r(13)
15)1-8-11....r(2)..r(8)..r(10)
16)1-12-15...r(2)..r(13).r(13)
17)1-9-11....2.....2.....r(8)
18)1-9-7.....2.....r(5)..r(5)
19)1-9-15....2.....r(5)..r(13)
20)1-9-12....2.....3.....r(13)
21)1-9-8.....2.....r(10).r(10)
22)1-9-16....2.....r(10).r(18)
23)1-7-14....r(5)..r(5)..r(10)
24)1-7-16....r(5)..r(5)..r(18)
25)1-13-11...r(5)..r(8)..3
26)1-8-15....r(5)..r(10).r(13)
27)1-13-12...r(10)..3.....r(13)
28)1-8-14....r(8)..r(10).r(10)
29)1-13-16...3.....3.....r(18)
Con respecto a la primera pregunta falta el 1-6-8, mientras que el 1-4-6 y el 1-2-7 son los repetidos.
Con respecto a la segunda pregunta me quito el sombrero ante la respuesta de PAC. En dos palabras: im-presionante.
:-D
Gracias por los halagos, pero esto no se puede comparar con el aporte que dan diariamente todos Uds. No saben como disfruto con cada uno de vuestros comentarios. Esto es un "cable a tierra" que nos permite olvidarnos, aunque sea por unos minutos, de todos los problemas actuales (laborales, económicos, de seguridad, polÃticos, etc., etc.), metiéndonos en un mundo virtual donde el único "rey" es el ingenio.
Un abrazo virtual a todos
PAC
No, yo también soy rey (¿o era emperador?; los números me están matando).
PAC, espero tener tu permiso. Cogà tu criterio y lo intenté con la cuadrÃcula de 5x5. Salieron 79 triángulos.
Ya lo sé, me aburro un poco.
David, yo estaba mas aburrido que vos, asà que me acabo de hacer un programita que lo calcule por mÃ.
Me dio lo siguiente:
2x2--> 1
3x3--> 8
4x4--> 29
5x5--> 79
6x6--> 172
7x7--> 333
8x8--> 587
9x9--> 963
10x10--> 1494
Si alguno quiere revisarlo, le puedo dar la lista de los 1494 triangulos ;-)
Fantástico. Excelente exploración. Yo habÃa estado pensando como hacer un programita que los contase, pero no se me ocurrÃa como resolver el tema de las rotaciones reflexiones y etc. Con el criterio de ordenarlos por el tamaño de sus segmentos la cosa es más fácil. Muy buena idea.
También estuve buscando alguna referencia en Internet ya que me figuraba que el tema debÃa estar estudiado.
Lo unico que encontré en principio fue esta página que tiene un pequeño applet Java para armar triángulos en una cuádricula de 5x5. Pero no era lo que buscaba.
Con la Serie de PAC, me fui a la Enciclopedia de las secuencias y allÃ, como no podÃa ser de otra manera, lo encontré.
Con esto queda dicho que las soluciones presentadas son ¡correctas!
Pablo, no me puedo quedar sin felicitarte, muy bueno lo tuyo.
Con tus resultados ¿podemos formular la ecuacÃón que nos sirva para cualquier cantidad de puntos por lado.?
¿quien se anima?
Solo me ocupo del primer problema. Me parece que nadie dio la solución adecuda.
LOS TRIANGULOS REPETIDOS SON:
1-4-9 y 1-2-7
El primero de ellos se convierte en el segundo por simple rotación de 1/4 a la derecha.
EL TRIANGULO QUE FALTA:
2-4-6
Todas las otras soluciones propuestas son traslaciones o reflexiones de los ya existentes.
Markelo, muy buena la pagina de las series, realmente no la conocÃa. Y para demostrar que no me copié, les paso en siguiente número de la serie (37x37). Es es 320294.
Comentario: Intentando optimizar el programita (ya te tardaba un poco para números altos) me di cuenta de otro hecho: en todos los casos se puede dar una lista de triángulos donde el 1 siempre este presente.
ITN, lo de generar la ecuación lo dejaremos para otro momento, pero me gusta el desafÃo.
Sirenita, te equivocas... el resultado ya se dio. En cuanto a los triangulos repetidos atinaste bien, no asà con el que falta: tu solución es una rotación del 1-5-7, el que falta (como muy bien han dicho por ahi arriba) es el 1-6-8 !!!
Un saludo,
KIZ
ITN, la serie polinómica que mejor interpola los primeros 20 puntos (analizando hasta grado 6 que permite el Excel) es:
y = -0,0003x5 + 0,1945x4 - 0,6103x3 + 2,54x2 - 6,9973x + 5,8083
x real y(x)
1 0 1
2 1 0
3 8 7
4 29 29
5 79 79
6 172 173
7 333 334
8 587 587
9 963 962
10 1494 1495
11 2228 2223
12 3195 3192
13 4455 4447
14 6050 6042
15 8032 8031
16 10481 10476
17 13464 13441
18 17014 16995
19 21235 21208
20 26190 26159
Hasta acá llegué yo.
PAC: me costó digerir eso de que en todos los triángulos participa el punto 1... pero es asà nomás.
En la página de las series, suelen poner la ecuación o la fórmula que permite obtener una secuencia dada cuando esta se conoce. En el caso de esta, no la pusieron. No digo que no exista, pero...
Hola a todos,
Hay un juego que también se hace con los famosos 3x3 puntos: Recorrer los 9 puntos con cuatro lÃneas contÃnuas, es decir, sin levantar el lápiz. Las lÃneas por supuesto deberán ser rectas.
Hola a todos,
Ayer intenté escribirles y parece que falló la comunicación. Repito el mesaje:
Hay otro juego posible con la cuadrÃcula de 3x3 puntos, que es tratar de unirlos con 4 lÃneas sin levantar el lápiz. Evidentemente todos probarán a hacer una espiral, pero con eso son 5 lÃneas, por lo que les aconsejo prueben otra combinación. Las lÃneas pueden cruzar y pasar dos veces por el mismo punto.
No sé si alguien propuso antes este juego, si es asà ruego me disculpen.
las formas repetidas son:1,4,6/1,2,7. i la forma que falta es 1,8,16
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