miércoles, 29 de septiembre de 2004
Un interesante problema que vi hace poco.
Tomen 15 fichas, algunas de un color y otras de otro, y acomódenlas como se muestra en la figura:
Se trata de demostrar que, cualquiera sea la cantidad de fichas de cada color, y cualquiera sea la forma en que se las coloque, siempre habrá, al menos, tres fichas del mismo color cuyos centros forman los vértices de un triángulo equilátero.
Tengo una idea de como demostrarlo, pero me gustaría leer las opiniones de ustedes.
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22 comentarios:
Lindo problema. ¿Cuentan los rectángulos al bies? (Es decir, con lados no paralelos al rectángulo grande.) Si sÃ, creo que lo tengo.
¿Qué pasarÃa con fichas de tres colores? ¿Se puede armar un triángulo de cualquier tamaño sin ningún triángulo monocolor?
¿seguro David?:
---○
--●○
-○●●
●○○●
Aunque agreguemos o saquemos pisos, y tengamos mas o menos colores, con cualquier disposición de fichas, NUNCA se podrá formar ni un solo triángulo equilátero.
Ni siquiera con todas las fichas del mismo color.
SerÃa distinto si en el dibujo propuesto las fichas de un piso se tocaran con las fichas de otro piso . . . :P
(linda respuesta para un cazabobos)
... y ya recuperado de mi repentino ataque de "quintopatismo", me parece que la explicación de David es correcta aún para los triángulos de 4 pisos.
Pero en realidad itn tendrÃa razón en su observación porque las fichas no están en contacto. . .
Me voy a preguntarle a Justiniano. . .
La demostración de David está perfecta. No hay manera de armar cuatro pisos sin triángulos. Probé armar todas las secuencias con números binarios y relacionarla con una fórmula de planilla de cálculo pero no me salió. Si a alguien le sale..agradecido
David: SEGURO.
Disculpe mi arrogancia,
al menos en el lindo dibujito quedó bien clara torpeza ¿verdad?.
A propósito de la quinta pata de AnÃbal (perdón por lo quisquilloso) es muy interesante la evolución de este refrán, al menos en España.
Alguien se ofrece a ilustrarnos?
Yo alguna cosita podrÃa aportar pero por no quitar la ilusión a los malabaristas googelianos... ;P
El origen de la frase viene de una antigua costumbre de atrapar a los gatos por la cola (que era considerada como la quinta pata) por ser ésta la manera más facil. Hasta ahà el origen. Como se llegó a la interpretación actual, no sé...
Disinerge, me parece que nos estamos desviando un poquitÃn del problema de los triángulos no?
Ni hablar Acid!. Desde el punto de vista formal el problema está resuelto por David y punto aparte!. Lo que sigue es el famoso quintopatismo.
Gracias por tu ayuda
Vale, vale :P
Pensaba que con la demostración de David (genial y contundente) estaba todo dicho y que lo del gato podrÃa "estirar" un poco el post
Ya me callo
Muy buena la demostración de David. Yo estaba haciendo una, pero más larga y confusa cuando me dio tentación ver los comentarios...(iba por el lado de juntar muchos triángulos de tres bolitas juntas que no fueran todas del mismo color y obligar un triángulo equilátero más grande)
Lo de la quinta pata. A mà me resultó curioso la primera vez que leà la expresión (aquÃ, donde Markelo). No sé el origen, pero en México hay un dicho similar aunque al revés (de ahà lo curioso del asunto, porque se entiende igual). Se dice que alguien le está "buscando tres pies al gato" cuando busca soluciones o argumentos cuando una cuestión está zanjada. O algo asÃ. Creo que el DRAE tiene una sección de refranes, pero allà no lo hallé. En otro lado, sin embargo, aparece:
BUSCARLE LOS TRES PIES AL GATO
Esta curiosa expresión equivale a buscar respuestas o soluciones rebuscadas mediante reflexiones y sospechas sin demasiado fundamento. Es una derivación de la expresión original, que era “buscar cinco pies al gatoâ€, modismo que todavÃa se usa asà en algunas zonas geográficas, y cuya procedencia data de la antigua costumbre de agarrar a los gatos por la cola, considerada como el quinto pie.
Estoy de acuerdo.
La demostración de David es muy clara y contundente.
Yo tambien me estaba complicando la vida con la cantidad de triángulos y la cantidad de fichas... pero no llegué muy lejos.
Con respecto a lo de buscarle 3 o 5 patas al gato... muy divertidos datos. La verdad es una frase que suelo usar, pero nunca se me ocurrió preguntarme de donde venÃa.
Si lo que quieren es alargar el post, busquen demostraciones con 3 ó 4 colores.
Por cierto, muchas gracias por los elogios.
Con tres fichas distintas según David aparentemente siempre se pueden armar triángulos que no sean monocromos. Por lo visto hay más libertades que restricciones a medida que el triángulo se va agrandando (al menos hasta el piso 7 hay variadas soluciones). La demostración se las dejo a los genios.
Disinerge no tomes mi comentario como restrictivo, lo único que faltaba es que se limite la libertad de expresión de alguien, al fin y al cabo mi comentario quintopatero también fué para estirar el post...
Lo que está claro, que si aumentamos los colores, también aumentamos las combinaciones. Pero no las hacemos infinitas, asà que siempre habrá un triangulo ´de X pisos en el que siempre haya algún triángulo equilátero.
La cuestión es:
- ¿De cuántos pisos es de 3 colores?
- ¿De cuántos pisos es de 4 colores?
- ...
Me parece (por pálpito) que ya en tres colores la cantidad de pisos no se detiene. PodrÃa ser probando con una estructura fija simple y armando estructuras más complejas.
Llamando A a una estructura de 4 pisos (por ejemplo) sin triángulos, se podrÃa probar:
A
AVA
La V serÃa la estructura A invertida
Ahora que has dicho la estructura V me he dado cuenta que en mis comprobaciones olvidé eso (sólo comprobaba las tipo A).
Me faltaron:
b=c=e, d=e=h, e=f=i
Es interesante el problema para tres colores. Me parece, en todo caso, que la estructura propuesta por Alejo siempre va a tener triángulos equiláteros... es cosa de fijarse en una ficha en particular del triángulo "A", que se repite en los tres lugares que está ese triangulo dentro del más grande, formando un equilátero.
Una posibilidad es trabajar con triágulos A, manteniendo la estructura de éstos, pero rotando los colores. Voy a trabajar en esta idea.
A este hermoso problema lo he conocido en el libro "Para pensar mejor" de Miguel de Guzmán. Está desarrollado de un modo muy hermoso en el capÃtulo 9. Les recomiendo el libro.
Del problema planteado se puede hacer un juego, donde un jugador posee las fichas blancas y otro las negras y van poniendo por turnos. Pierde el primero en hacer un triángulo equilátero con fichas de su color.
Para el tablero de lado 4, alguien es capaz de determinar la estrategia ganadora, y si conviene comenzar o ser segundo? (yo tengo mis sospechas, me gustarÃa confirmarlas).
Jugando con un tablero más grande el juego se puede volver muy complejo; es sorprendente como un juego con reglas tan sencillas puede complicarse asÃ.
M e parece q està mal planteado el problema... por q si no me equivoco ... la cantidad mìnima de fichas de un color no serìa 1? Y luego se plantea q sabiendo q la cant de fichas de un color son 3...còmo puede ser _?
??????????????
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