Mientras Markelo se repone de sus ñañas, les traemos un sencillo pero lindo problema.
Supongamos que arrojamos una pelota de goma desde una altura de 180 metros. Cada vez que rebota, vuelve a elevarse hasta una altura igual a 1/10 desde donde cayó previamente (En el primer rebote se elevaría 18 metros, 1,80 metros en el segundo etc.)
Cuando la pelota finalmente se detenga al cabo de infinitos rebotes ¿Cuál será la distancia total que ha recorrido?
Obviamente asumimos condiciones ideales como ausencia de rozamiento, elasticidad perfecta etc, etc.
No recordamos quien nos contó este acertijo. Es muy sencillo, pero ilustra un hecho matemático de manera muy interesante.
Julio y Verne
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50 comentarios:
Sólo se me ocurren más preguntas:
- Las suposición de ausencia de rosamiento y elasticidad perfecta, no es información redundante?
- Cualquier punto de la superpelota recorre la misma distancia?
- Cuando se lanza la pelota, qué punto de ella está a 180 mt?
- Son muy tontas estas preguntas?
Lo consultaré con mi almohada...
Estaba por señalar un error, pero se me ocurrió que puedo sonar bastante molesto, considerando además que los debo hacer con bastante frecuencia y que la s está al lado de la z (a mi si me corrigen, mejor). Uno muy parecido es de Sam Loyd (aparece en el libro Nuevos Acertijos de Sam Loyd, recopilación de Martin Gardner de ediciones de Mente), llamado The Leaning Tower of Pisa, pero Loyd dice que es un "classical puzzle". La altura inicial es de 179 pies y la pelota también se eleva un décimo respecto de la altura anterior, pero o bien alguno de estos datos o la respuesta dada al final del libro están mal.
1.2222222222222222222222222222222222222222222... (180). Es decir 220 metros
Ehh...hablando de errores. El libro estaba bien, solo que yo estaba haciendo la cuenta con el 180 :P. Por qué supuse que estaba mal el libro? Inicialmente supuse que estaba mal yo, claro, pero después de revisar (y tal vez influenciado por el hecho de que otros acertijos como el que una vez publico Markelo de el empapelador, pintor, electricista etc. tenÃan algún error) creà que estaba mal.
bueno, a ver que toca acertar hoy...
Vaya, olvidé otra vez que puse un sÃbolo de menor. QuerÃa haber puesto:
es convergente (porque |0.1| < 1)
(el valor absoluto de la razón es menor que uno)
La distancia estarÃa dada por la sucesión:
d=180+180/10^1+180/10^`2+...+180/10^n
Y creo que la respuesta está en la derivada de esta sucesion... pero ahora estoy demasioado cansada para pensar
Chaito
Bien, volvÃ. ¿Qué hay de nuevo?
Me gustó la respuesta de pincel, pero como no me gustan los números con coma, estoy seguro que la solución tiene que ser de otra forma...
pincel, te olvidaste de contar parte del recorrido de la bola, ya que la bola sube y baja.
Primero baja de los 180 metros (punto de partida), sube 18, baja 18, sube 1.8, baja 1.8, ...
Total Recorrido = 180 + 2*180/10 + 2*180/10^2 ... + 2*180/10^n
Es cierto ACid, tienes toda la razón.
Aunque en realidad no importarÃa al sacar la derivada de la sucesìón... solo en el termino que contiene la n
Estamos de acuerdo con la solución de Santiago.
Tambien estamos de acuerdo en que la solución viene dada por la suma de los infinitos términos de la sucesión que comentan ACid y Pincel; pero no hay necesidad de complicarse con las derivadas.
La suma es en realidad muy sencilla de calcular y el resultado es un valor muy concreto que ilustra perfectamente el hecho matemático que les decÃamos en un principio.
Para decirlo de otra manera, el recorrido R será
R=Hi+2/9Hi=220 mts.
Hi=altura inicial
Los 2/9 resultan de:
2 por el recorrido ida y vuelta de cada rebote
9 por ser las sumas de todos los 10% (11,1111111..)
Ya lo dijeron, pero justo la idea del 1.2222... era que recorre 1 vez de bajada 180, luego 2 veces (subida y bajada) .1 (180), luego lo mismo .01 (180) y asÃ, ad infinitum.
Luego usas la calculadora, y se aproxima a 219.99999..., y decides que en realidad es 220, por el infinito que no le cabe a la calculadora
"Cuando la pelota finalmente se detenga al cabo de infinitos rebotes ¿Cuál será la distancia total que ha recorrido?"
no hay una contradicción en esta frase????
se detenga e infinitos rebotes
Creo que la forma correcta de hacerlo es como ya lo señaló ACid usando la expresión S = a1 * (r a la n - 1)/( r - 1) de la suma de las sucesiones geométricas. ra al infinito tiende a 0 y se tiene que al suma es a1/(1-r), en este caso multiplicado por 2 y sumándole los 180 iniciales. Más allá de esto de que tienda a 0, directamente en estos casos creo que suele usarse la 2da expresión.
Con respceto a si es una contradicción isca, creo que no, porque decir que sà implicarÃa que Aquiles nunca superó a la tortuga.
si el planteo es un decimo del recorrido sera infinito ¿como calcularlo entonces?
La solución dada por casi todos está bien.
Vamos ahora al pequeño detalle matemático.
Respondan y demuestren:
La fracción decimal periódica (infinita) 0,22222222...
¿es menor que 2/9?
¿Se aproxima infinitamente a 2/9?
¿es igual a 2/9?
Uuhhhhhhhhh (no sé que quiere decir pero se me ocurrió ponerlo igual), hace poco en un grupo de yahoo se discutió un poco eso. Es igual a 2/9. El problema es que los números tienen sus complicaciones para expresarse entre sà (yo igual me sigo preguntando: al igual que se dice que expresiones entre muchas otras como 0,1 a la infinito tienden a 0 pero nunca son 0, por que 0,2222222... se dice que es 2/9 y no que tiende a 2/9? Quizás por lo recién mencionado de los números, pero si es por esto directamente que se exprese en forma de fracción y listo). Quizás sea por la siguiente propiedad de los números reales (no sé de donde se deriva o si es más bien por definición): a partir de dos de ellos se puede siempre obtener otro como por ejemplo a través del promedio, lo que implica que entre dos de ellos siempre hay otro. Tomando el caso de 0,9999...., entre este número y 1 no hay otro y asà se demuestra que son el mismo (pero para mi esta es la demostración de que los reales son discretos, jejeje). Igual me voy a seguir preguntando por qué son iguales.
(después 0,22222....= 0,99999999....../9 *2
0,22222....=1*2/9
0,222....=2/9, claro)
hay mail??
Mmmmmm... A ver si soy capaz de demostrar que son iguales...
n = 0.222222222....
10n = 2.222222222....
======================= (Resto de abajo a arriba)
9n = 2.00000000....
n = 9/2
Esta era la demostración clásica que hacÃamos en el instituto, si no recuerdo mal.
La otra demostración ya se ha comentado antes, es la de la imposibilidad de encontrar un número mayor que 2/9 y menor que 0.2222222..., o viceversa, propiedad que se da para todos los reales-
...No conocÃa la demostración de deibyz, aquà va la mÃa:
2/9=2/9
1/9+1/9=2/9
0.1111...+0.1111...=2/9
0.22222.....=2/9
...uno siempre llega tarde..... me maté buscando la calculadora :P
Me quedo con la demostración de deibiz.
Porque creo que todos estamos de acuerdo en que 2.0000000000... = 2
(Aunque sumemos a 2 infinitos números, si todos son cero es como no sumar nada. )
Sin embargo, no se si todos estarÃan de acuerdo en otras suposiciones. Pincel se basa en suponer que 0.1111111.... = 1/9
y no demuestra eso.
Jean Paul se basa en suponer que 0.99999... = 1
Pero 0.9 es menor que 1, 0.99 es menor que 1, etc.
¿por qué cuando hay infinitos términos llegamos a la igualdad a 1 y no sigue siendo menor que uno? ¿no es curioso que haya dos representaciones del mismo número (0,9999... y 1 ó 1,00000...)?
También añado un comentario sobre lo que dijo pincel:
r^2 = r*r = r+....+r (r veces)
(derivando)
d(r*r)/d(r) = 2*r
d(r+....+r)/d(r) = 1+1+....+1 = r
¿qué ha ocurrido? La primera derivada da 2*r y la segunda da r, pero se supone que lo que derivábamos era lo mismo. !!!
No se para qué se pretendÃan usar las derivadas aquà pero sólo trato de ilustrar el cuidado que debemos de tener ... Espero que a alguien le sirva para aprender algo.
isa...oh! también está metida en este acertijo? Bienvenida...
ACid yo no supongo que 0,999...=1, sino que lo demuestro. En el caso de pincel, se utiliza que 0,1111...=1/9 con lo cual se usa para la demostración lo mismo que se quiere demostrar.
Jean Paul, de acuerdo. No vi que antes habÃas dado una argumentación de 0,9999... = 1
Cuando dices:
"por la siguiente propiedad de los números reales (no sé de donde se deriva o si es más bien por definición): a partir de dos de ellos se puede siempre obtener otro como por ejemplo a través del promedio, lo que implica que entre dos de ellos siempre hay otro."
También estoy de acuerdo en que es mejor escribir este tipo de números en forma de fracción.
No lo se ,
pero CRREO que cuando la pelota se detenga al cabo de finitos rebotes no habra recorrido
ninguna distancia
o dicho matematicamente como tanto les gusta:
d=0
aclaraciones of topic
Es cuestion de sentido comun
no es posible q:
"Cuando la pelota finalmente se detenga al cabo de infinitos rebotes"...
es una paradoja
sobre todo visto matematicamente
LAS MATEMATICAS NO SON UNA CIENCIA PERFECTA
Esto es grave
osea que tan importante puede ser una decima para el orden del universo ?
0,9.. ….= 2?
0,8……… = 0,9?
.
.
.
0,0……..= 2?
Asi q este problema solo lo puede resolver Dios,
Y vos no sos Dios
Asi te lo creas Che
y q
1 = 2
"Cuando la pelota se detenga al cabo de infinitos rebotes" no es una paradoja, Juana, porque puede dar infinitos rebotes en una fracción finita de tiempo. Digamos, simplificando, que la que tenemos en éste caso tiene una rapidez constante de 1m/s. Es claro, entonces, que en el segundo 221 ya está detenida, y ateniéndonos a las condiciones planteadas, dió infinitos rebotes. Que no suceda en la "vida real" asà tiene que ver con que ésta es una pelota idealizada, sin fircción, elasticidad perfecta y eso, pero no es paradójico. Es como la flecha del griego aquel.
la verdad no te entendi un carajo (bueno no intente)
pero sigo creyendo q aceptar q la pelo se detenga es aceptar q
La fracción decimal periódica (infinita) 0,22222222..
es igual a 2/9
osea q la respuesta al problema ....ES EL PROBLEMA?
GRRRRRRRRRRRRRRRRRRRR
POR Q EN EL COLE NUNCA NOS ENSEÑARON ASI???
che, la distancia que recorrio la pelota son 180 metros, por mas de que la haya recorrido un sin fin de veces....
Contestando al siguiente comentario de Jean Paul:
...se dice que es 2/9 y no que tiende a 2/9? Quizás por lo recién mencionado de los números, pero si es por esto directamente que se exprese en forma de fracción y listo). Quizás sea por la siguiente propiedad de los números reales (no sé de donde se deriva o si es más bien por definición): a partir de dos de ellos se puede siempre obtener otro como por ejemplo a través del promedio, lo que implica que entre dos de ellos siempre hay otro. Tomando el caso de 0,9999...., entre este número y 1 no hay otro y asà se demuestra que son el mismo (pero para mi esta es la demostración de que los reales son discretos, jejeje).
aclarar que la propiedad a la que se refiere de que "entre dos numeros reales siempre existe un tercero distinto de los otros dos" deriva directamente del llamado axioma de completitud de los números rales, asà que se puede decir que no es un hecho que se deduce sino que es axÃomático.
Otra cosa que querÃa aclarar:
2/9 es un número racional y por eso lo podemos expresar como un quebrado. Hasta ahà de acuerdo, espero...
Al ser racional es también real y como número real que es admite una representacón decimal que no tiene porqué ser única. Es decir, El número racional 1/8 admite dos representaciones decimales, 0,1250000... y 0,12499999.
Con esto añado más controversia al asunto porque ahora tenemos "tres números" que son el mismo!!!! Jajaja!!!
No son fascinantes las matemáticas???
SiiÃ, lo son!
pablo hay veces que yo me planteo lo mismo porque juanadearco tiene razon de acuerdo a mi logica.
la solucion es 200 mts
dejense de hinchar las pelotas que si ses 1.25 o 1.2499999999999999, hagan una progresion geometrica en la planilla excell y se van a dar cuenta
Marcos, 20*2=40.
La pelota recorre:
Subiendo:
180+18+1.8+0.18+...
Bajando:
18+1.8+0.18+0.018+...
Lo q es igual a la suma de las dos series geométricas: S1=180/0.9 y S2=18/0.9 y S=S1+S2=200+20=220
Por supuesto, estas dos series son series infinitas con una suma finita, por lo q la pelota puede dar infinitos rebotes en un tiempo finito.
Y demostrar q 1=0.99999... es algo muy sencillo. Además, una vez q hemos probao esto es igual de sencillo probar q 23.3499999...=23.25 o q 1.25=1.24999...
lorena, t puedo contestar un poco a tus preguntas si no t las han contestado ya.
punto 1. cuando se arroja una pelota, no se tira a cualkier lado, es como si se deja caer... es basicamente conocer tu idioma
punto 2. los puntos de la superpelota no importan, es la superpelota en general... es la parte de la superpelota k toca el suelo... cuando tu andas no dices: anduve cn mi zapato izkierdo 384,39 metros y con el derexo 385,03...
me dispongo a contestar, mi respuesta es k el bote de la pelota es infinito pro con limite en 200 metros. infinito xk siempre sta botando, aunk en algun momento lo k se eleve sea 0,0000000000018 metros.. k no es nada...
pro si se sumase todo saldria:
180 + 18 + 1,8 + 0,18 + 0,018 + 0,0018... asi = a 199,99999998...
Está mal fedefiz. Hay que leer mejor lo que la gente escribe.
la distancia es infinita la bola no se para
como pueden hacer de algo tan simple una coso tan complicada, la distanci es claramente 220 metros como ya fue explicado en reiteradas ocaciones
es claro que la distancia es de 220 metros hacen de una situacion tan simple un enigma mundial...
Aca hay un problema tecnico:
es claro que la pelota nunca se detiene, sin embargo su distancia TIENDE a 220mts, acuerdense que es el LIMITE de una sumatoria
para aclarar:primero la bola recorre 180 mts luego para arriba y 18 para abajo y asi sucesivamente. Es decir: 180+(180/10)*2+(180/100)*2.....
simplificado:
180+180/5+180/50+180/500+180/5000.....
o reescrito:180+Sumatoria entre 0 e infinito de: 36/10^x
Hola. Feliz Año 2006. Si suponemos una bola esférica de radio r...
¿no se detendrá cuando la altura del rebote sea igual al radio?
Botará mientras h > r y cuando se igualen se detendrá. HabrÃa que incluir las variables r y n (número de veces que toca el suelo) teniendo en cuenta que el último choque es "el último".
Engraso la calculadora y me decÃs que tal lo veis.
Un saludo.
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