domingo, 15 de mayo de 2005
Publicado por
Markelo
en
16:30
Etiquetas: Acertijos con números, balanzas y pesas
Etiquetas: Acertijos con números, balanzas y pesas
Hace tiempo, había comenzado a publicar algunos acertijos que involucraban balanzas y pesos. En aquel momento prometí más, pero el tiempo pasó y me olvidé.
Un mensaje de Jean Paul me recordó el tema por lo que ahora volvemos sobre la cuestión con un problema simple y luego iremos publicando variantes.
Tenemos 27 monedas de oro exactamente iguales a simple vista, pero una de ellas es falsa y pesa un poco menos.
Ayudado con una balanza de dos platos: ¿Cómo puedo descubrir cuál es la falsa realizando el menor número posible de pesadas?
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26 comentarios:
Se hacen 3 grupos de 9 monedas. Se eligen dos y se comparan en la balanza, se toma el grupo que pese menos. Si pesan igual se toma el sobrante.
El grupo elegido se divide en 3 grupos de 3 monedas. Se pesan dos de ellos en la balanza y se toma el que pese menos. si son iguales se toma el que queda.
Del grupo elegido se pone una moneda en cada balanza y la que menos pese es la falsa, si son iguales, es la que no se puso en la balanza.
Asà se hace en 3 pesadas.
Estoy de acuerdo con 71.
Una pregunta parecida para complicarlo un poco: si hay dos monedas de peso distinto, de forma que una de ellas es más pesada que el resto y la otra menos, pero juntas pesan igual que dos monedas normales, ¿cuál serÃa el mÃnimo número de pesadas para encontrarlas?
Markelo respondà el email. Aviso por las dudas porque leà que habÃas rescatado de la papelera emails de otros. Después tengo que pensar el de Jose.
Si la balanza no fuese de dos platos, no se podrÃa comparar los pesos de los grupos. Con una balanza común se puede hacer en 5 pesadas como mÃnimo como sigue:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
3 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0
4 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
5 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Bueno, es sencillo... convertimos todos los números del 1 al 27 en sus valores binarios, y los colocamos en una tabla
Cada fila corresponde a una pesada. Si en esa pesada aparece un 1 significa que esa moneda estará en la pesada.
Entonces en cada pesada, dividimos el valor obtenido por el número de monedas pesadas, por ejemplo en la primer pesada son 12 monedas pesadas, y en la quinta pesada son 14.
Ahora nos queda esto:
Si el promedio más bajo está sólo en la 5º pesada, la moneda falsa es la 1
Si el promedio más bajo está sólo en la 4º pesada, la moneda falsa es la 2
Si el promedio más bajo está sólo en la 5º y en la 4º pesada, la moneda falsa es la 3
…
Si el promedio más bajo está sólo en la 3º pesada, la moneda 4 es la falsa
Si el promedio es más alto está sólo en la 3º pesada, la moneda 27 es la falsa.
Lo demás, es seguir los mismos pasos.
Mmmmm... no sé si se entendió...
respondiendo a Jose en plan cazabobos... 4
pepeese, ¿lo dices en serio? ¡4 me parecen muy pocas! (aunque no digo que sea imposible)
3
6
Creo que el menor numero de pesadas en el que se puede descubrir a la moneda falsa es en una pesada.
Ya que por estadistica, existe la posibilidad de que en una primera eleccion de monedas se elija a la falsa.
Y yo tengo mucha suerte.
:-))
Ahora para la gente que no es suertuda, y hablando un poco mas en serio, les digo que en realidad se puede descubrir a la moneda falsa en cero pesadas o a lo sumo en una pesada.
Yo haria asi:
Agarro las 27 monedas y las separo en 3 grupos, 2 grupos de 13 monedas, y uno con la moneda que me sobra.
Ahora el secreto esta en la forma de poner las monedas en la balanza, determino que para esta experiencia, se considerara una pesada, cuando en cada plato de la balanza esten en forma completa los grupos que deseo comparar.
Agarro los 2 grupos de 13 y deposito de una en una, una moenda de cada grupo en cada plato, si no tengo suerte, al poner las 13 en cada lado, habre completado una pesada, la balanza estara en equilibrio, y la moneda que sobra es la falsa.
Con algo de suerte, la falsa estara en uno de los grupos de 13, y al tocarle ir al plato no equilibrara la balanza, y no completare ni siquiera una pesada.
En este problema cada quien puede determinar cuando se habra completado una pesada, ya que el enunciado no lo hace.
JAJAJA
:-)
Bufff, todavÃa sigo dándole vueltas al problema que enunció Jose.
Vale, con unas 26 pesadas lograrÃa resolverlo pero estoy casi convencido de que se puede hacer con menos. El problema es que si la que pesa menos (Me) y la que pesa más (Ma) están juntas es imposible distinguirlas de dos monedas normales...
Bueno... con 15 pesadas se pueden detectar las dos monedas falsas en el problema de José... aunque estoy casi segura que se puede con menos.
La idea con 15 pesadas es dividir las monedas en 13 pares (queda una fuera). Pesar los 13 pares. Si la balanza queda equilibrada, están pesando monedas verdaderas.
Caso 1: dos pares inclinan la balanza .
Entonces de uno de los pares desbalanceados se toma la de menor peso y se compara con una verdadera. Si son iguales, quiere decir que su compañera era la mas pesada. Si son desigales, ésta es la más liviana. Lo mismo para el otro par desbalanceado.
Caso 2: un solo par desbalanceado.
Entonces puede ser que las dos monedas falsas esten en el mismo par, o que una falsa sea la que quedo fuera, sin pesar. Bueno, con dos pesadas se identifican...
Para el problema de Jose, creo que se puede hacer en 9 pesadas :
Supongamos que las que pesan diferentes son la 26 y la 27 :
Pesamos por pares, hasta llegar a las tres ultimas; estas las pesamos de a una, con una de las monedas que ya determinamos que eran verdaderas.
A mi me da que son 9 pesadas en total.
Y hablando de EUREKA . . . . si las sumergimos en agua; no necesito ninguna pesada ;)
Dónde está EUREKA?
Si las moendas tienen el mismo volumen, al sumergirlas en agua todas desplazaran el mismo volumen de lÃquido, por lo tanto, todas recibirán un empuje hacia arriba igual al peso del liquido desplazado... pero todas terminarán en el fondo de la bañera!
No entiendo cómo determinar las monedas distintas en la bañera...
El empuje hacia arriba es el mismo como bien decÃs, pero la fuerza que hace la moneda hacia abajo varÃa según el peso de cada moneda, por lo que pesos diferentes provocan diferentes aceleraciones hacia abajo, y de esta forma diferente velocidad.
De esta forma si tenemos una altura suficiente de columna de agua (u otro lÃquido cuya densidad permita que las monedas se hundan) podemos ver como todas las monedas se hunden, haciéndo esto de manera más rápida la más pesada, y con menor velocidad la más liviana, y obviamente cuanta más distancia recorran, más se van a separar entre ellas.
EUREKA!
Si todas las monedas son de oro tendrÃan que tener diferente volumen ¿o no? a no ser que las monedas normales fueran huecas en su interior y en ese caso la mas pesada seria maciza y la mas liviana seria "mas hueca" que el resto . . . estoy divagando un poco, en todo caso no soy bueno en matemática fÃsica y demás ciencias. Ja ja ja , solo me gustan los desafÃos que plantea esta pagina y los comentarios de todos uds. (principalmente cuando utilizan el pensamiento lateral y un poco de ironia)
Saludos
PD: Ni siquiera sé si escribà bien EUREKA ja ja ja
No lo pensé mucho. Solo la idea básica de pesar 2 de cada lado y después de la primera pesada que una de ellas sea una de las que se pesó la primera vez.
1) 1 2 vs 3 4
2) 5 6 vs 7 4
3) 8 9 vs 10 4
...
7) 23 24 vs 25 4
8) 26 27
Se van pesando. La idea era que si hay igualdad, las dos de peso distinto solo pueden estar de un mismo lado. Si por ejemplo en las 7 primeras pesadas el peso es igual de ambos lados, se comparan 1 y 5, 8 y 11, 14 y 17, 20 y 23. Si pesan igual son la 26 y 27. Si pesan alguno de esos pares distinto, se hace una pesada más. El resto es probar los casos . Ssi hay desiguldad en alguna pesada, digamos la 4), (la moneda 4 no es) se comparan las dos entre las cuales no está la 4 (y no se sigue hasta la 8) y ya se determina cual es la que genera el desequiilibrio y si es más o menos pesada. Después, incluida la que no se comparó, se reduce el problema a cuando se sabe si es más liviana o más pesada que es muy simple. Digamos 3 pesadas. Pueden ser menos pero no importa porque igual no supera al caso de las 12 de antes. Bueno, solo se me ocurrió esa distribución pero no pensé nada más realemente. Creo que serivirÃa este método después de analizar todos los casitos para 12 pesadas. Pero seguro que se puede algo más complejo y con menos pesadas.
Discuplen la enorme imprecisión, es que no estoy haciendo acertijos últimamente. Este serÃa seguramente uno de los primeros que pensarÃa con más detenimiento. Quizás a alguien le sirva lo que puse...
En relación a lo que dice Sololeo,
Todas pueden tener el mismo volumen y la falsa puede ser menos pesada por estar hueca... (o por ser de un material menos pesado) o bien ser más pesada por contener un metal más pesado (por ejemplo, plomo).
Propongo otro problema:
Supongamos que las monedas buenas son de oro macizo y que las falsas ocupan el mismo volumen, pesan lo mismo y sabemos que tienen hueco el centro. ¿Cómo podemos saber de una forma fácil cuáles son las huecas?
Nota: externamente todas pueden ser de oro puro, con lo cual una prueba quÃmica como atacarlas con alguna sustancia no sevirÃa.
Nota2: como he dicho, la prueba a realizar es sencilla. No valdrÃa ningún tipo de prueba que destroce las monedas... Podemos suponer que son monedas antiguas y que su valor es mucho mayor que el propio oro que contengan.
Creo que con unos golpecitos se soluciona el tema.
Si el oÃdo no ayuda mucho podrÃa pasarse un palpador de ultrasonido y no dejarÃa lugar a dudas...
RealHomero, dije un método sencillo. ¿acaso llevas tú un palpador de ultrasonidos encima? ;) Tampoco valdrÃa en principio lo de los golpecitos.. Podemos suponer que al golpear de forma leve para no dañar las valiosas monedas no escuchas ninguna diferencia (aunque quizá con un instrumento avanzado de precisión sà que se pudiese detectar)
Hablo de un método sencillo que se podrÃa aplicar sin ningún tipo de tecnologÃa avanzada: ni palpador de ultrasonidos, ni instrumento de precicisión para analizar efectos de golpecitos...
El experimento sencillo podrÃa realizarse con los medios del hombre de las cavernas si le decimos cómo, o Isaac Newton sin decirle nada.
bueno... tampoco era para que te lo tomes asÃ... además sabes que simple es pasar un palpador de ultrasonido?? ;) jejejeje
quiero suponer que si las monedas son todas del mismo volumen, y las falsas tienen un hueco en el centro, las mismas no son de oro sino de un material más pesado (aunque luego estén recubiertas de oro para que se asemejen a las verdaderas)
si esto es asà entonces tendrÃamos monedas macizas y monedas "cuasi cilÃndricas"...
si lo tuyo Acid venÃa por este lado no doy más pistas para que otro se golpee la cabeza (no con las monedas porque son muy valiosas...)
se pasan de veras lo que es no tener nada que hacer. he?..
mejor pierdan el tiempo en adigma...
de todas formas que chido que hacen esto nos ponene a penzar qunque no nos sirva de nada la info...
Acid... justo postearon acá y me acordé que habÃa quedado esto colgado...
Felicitacines por el programa , espero que me contesten y me manden problemas y ejercicio para primaria.
Alfredo
En 4 pesadas.
POnemos primero 13 y 13 de cada lado mas 1 sobrante. Si por casualidad pesaran lo mismo es la restante, si no pasamos a las siguiente pesada.
En la 2 pesada ponemos 6 y 6 de las 13 y dejamos, una suelta y aplicamos la misma regla de la anterior
De ahi ponemos en una tercer pesada 3 y 3
Y en la cuarta y ultima, ponemos 1 en cada lado de la balanza y la otra fuera, si quedan iguales es la que sobro y si no ya sabremos en esa cuarta pesada cual es.
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