En la junta vecinal de mi barrio decidieron hacer una rifa para recaudar fondos.
Vendieron todos los números entre el 1 y el 2538, salvo un talonario con los números del 1900 al 1999 que se extravió y que se decidió anular.
Para el sorteo, como no tenían bolillero ni nada parecido, optaron por el siguiente método:
Cortaron 10 papelitos y escribieron en ellos los números del 0 al 9.
Primero sortearían el millar colocando en una copa el 0, el 1 y el 2 sacando uno de ellos al azar.
Para las centenas, si hubiese salido el 0 como millar, colocarían los papeles del 0 al 9. Si hubiese salido el 1, colocarían los papeles del 0 al 8; y si hubiese salido el 2 colocarían del 0 al 5.
Siguiendo de esta manera, elegirían luego la decena y por ultimo la unidad.
Este método, así de lógico como parece, es en realidad bastante injusto.
¿Se dan cuenta por qué?
¿Qué números elegirían para tener más posibilidades de ganar?
¿Se les ocurre otro método para realizar un sorteo similar que sea justo o, al menos, más justo?
Dos aclaraciones:
Por justo entendemos un sorteo donde todos los números tienen idéntica posibilidad de salir.
Recuerden que este es un problema matemático.
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30 comentarios:
yo cogerÃa un número del 2000 al 2538
Yo elegirÃa uno del 2530 al 2538.
Aunque pensándolo bien, con mi mala suerte, seguro que no gano nada....
Yo elijo en el mismo rango que PAC.
con los elementos en juego, la mejor forma parece ser sortear cada cifra del 1 al 10, y si sale una 'imposible', volver a empezar pero desde cero. Ahà si cada número tiene chance 1/10^4 (y si no hay ganadores, se empieza otro sorteo).
Uno se puede preguntar si no son muchos sorteos para asegurarse un ganador, pero la probabilidad de que no salga nunca uno de los dos mil y pico válidos tiende a cero bastante rápido (casi como 7^n/10^n).
Bueno... me fui al cuerno... Mejor que si en tres sorteos no sale, me manden el premio a mà y listo :)
Estoy completamente de acuerdo con PAC y con JuanPablo...
Creo que con una sencilla formula en excel (p.e.) se puede hacer el sorteo con facilidad, pero no pienso recordarla porque sé que va a salir el 26
En Pequeños Enigmas no he propuesto acertijos de probabilidades porque inevitablemente se termina cayendo en temas matemáticos que yo no domino.
Lo mÃo es más intuitivo, por lo que tendrán que tenerme paciencia.
Por ejemplo, la fórmula de Juan Pablo no la comprendo muy bien que digamos. Imagino que lo que quiere decir es que, a medida que crece n, es poco probable que todos los números que salgan sean mayores que 2538.
Eso me recuerda el caso de la ruleta. A priori, es poco probable que salgan 20 bolas rojas seguidas... pero como la bola no recuerda (como suele decirse)una vez que salieron 19 rojos, la siguiente bola igual tiene probabilidad 1/2.
Lo que quiero decir es que, con el sistema de Juan Pablo, en cada sorteo tenemos más o menos un 75% de probabilidades de que el número que salga este fuera del rango de números válidos. Puede llegar a tomar bastante tiempo obtener uno bueno.
¿Es asà Juan Pablo?
La idea de la tercer pregunta era que propongan otros métodos que mejoren la justicia del sorteo.
Obviamente, lo óptimo es escribir 2438 papelitos (o escribir una fórmula de Excel o comprar un bolillero) pero la gracia está en minimizar los materiales. Por eso les decÃa que sea "al menos más justo"
Por ejemplo, les dejo este método para que lo analicen:
Igual que antes, escribimos 10 papelitos, pero comenzamos sorteando primero las unidades, luego las decenas y luego las centenas.
Si el número resultante es mayor que 538, ya no ponemos el 2 para el millar.
Si es mayor que 900, ya no pondrÃamos tampoco el 1.
Este método:
¿Es mejor, igual o peor que el anterior?
Método casi-justo /semi-sencillo:
En las unidades de millar ponemos 50 ceros, 45 unos y 27 doses
Si sale 0 procedemos con el resto de cifras normalmente (del 0 a 9 uno de cada)
Si sale 1 en las centenas solo metemos del 0 al 8 y el resto normal
Si sale 2 para las centenas pondremos 10 ceros, unos, doses, treses y cuatros y 4 cincos
. . Si no sale un cinco el resto se hace normal
. . Si sale cinco metemos 10 ceros, unos, y doses y 8 treses
. . . Si no sale un tres las unidades las determinaremos normalmente
. . . Si sale un tres para las unidades usaremos solo de 0 al 8 (uno de cada)
Si queremos un método semi-justo / casi-sencillo, entonces en las unidades de millar ponemos 10 ceros, 9 unos y 5 doses
y el resto igual.
Que les parece hacer dos bombos. el primero con 47 números (del 1 al 47), y el segundo con 54 números (del 1 al 54).
Se saca un número de cada, y luego solo hay que multiplicar el primer número sacado por 53 y sumarle el segundo número.
Los participantes no se si estarian de acuerdo, pero la probabilidad de salir cualquiera de los números es la misma.
Ps: Si lo quieren hacer con 3 extracciones se puede hacer lo mismo con tres bombos y los números del 1 al 47 en el primero, del 1 al 9 en el segundo y del 1 al 6 en el tercero.
Las operaciones son (1º número)*53 + (2º número)*5 + 3º número.
Un saludo a todos, y me gusto también la variante de 26.
Ramtia, o te he entendido mal o me quieres arruinar , tengo todo mi dinero apostado al 0026.¡¡¡
jaja, las prisas son malas consejeras.
Variante para que 26 pueda ganar.
los números del bombo 1 van del 0 al 46, y los del bombo 2 del 1 al 54, entonces se sacan dos números y para obtener el número a sortear: (número bombo 1)*54+(número bombo 2).
Espero que ahora puedas ganar esta pequeña rifa. Saludos y muchas gracias por esa corrección tan sutil. ;-P
AñadirÃa a tu magnifica solución el detalle de no incluir el número 36 en el primer bombo, con lo que reducimos mucho las posibilidades de que nos salga un numero anulado.
Otra solución: se fija uno en un sorteo grande y nacional, de esos que publican los resultados en la tele o en el periódico. Generalmente, tendrán más de cuatro dÃgitos.
Se toman en cuenta los últimos cuatro, y se recorre la página de abajo hacia arriba o en cualquier dirección, hasta encontrar uno válido para nuestro sorteo.
Luego se usa el periódico para envolver el regalo, o enterarse de los resultados del futbol de ayer.
tambien podemos buscar alguien suficientemente honesto de otro barrio que no haya participado y diga un número del 1 al 1899 o del 2000 al 2538 y asà no compramos el diario ni andamos cortando papelitos!
Otra solución: quien compró un número deberÃa tener un papelito con ese número impreso. Escribe su nombre en él, y lo coloque en una urna. Luego, un niño o niña saca un numerito de la urna.
Más fácil aún: los talonarios de números en general tienen los números por duplicado. Y el que organiza se queda con el talón de duplicados. Que coloquen en la urna esos números!
Sólo una forma más entre las muchas posibles, pero que me parece que es un buen equilibrio entre cantidad de papelitos y números descartados antes de uno válido:
Hacer dos sets de papelitos: uno con los números del 0 al 25, saltando el 19; y otros dos con los números del 0 al 9 (en realidad estos dos últimos pueden ser uno sólo, pero lo voy a explicar con dos).
Se saca al azar uno de cada grupo, y se escribe el número que forman. De esta forma se puede crear con igual probabilidad los números del 0 al 1899 y del 2000 al 2599. Si sale un número no válido (0, o entre 2539 y 2599) se repite el sorteo.
La probabilidad de tener que repetir el sorteo es de 62 entre 2400, lo que es suficientemente baja.
¿Qué puedo decir?
¡Bravo!
Mis soluciones eran como la de Homero o 26 que mejoran bastante la justicia del sorteo.
Pero la de Ramtia... me saco el sombrero (si tuviera :-)
Soy de los que creen que lo que hace bueno a un acertijo no es tanto el enunciado del mismo como su solución.
La respuesta de Ramtia hizo que, al menos para mi, este acertijo valiera la pena.
Muchas gracias Markelo, aunque gracias a 26 se ha ajustado mucho más la cantidad de números extraidos , asà como también me ha librado de una reclamación por parte de algunos participantes.
Gracias 26 por darme ese par de cables.
Markelo, es como decÃs. Tenés casi 3/4 de posibilidades de que el número no caiga entre los sorteados.
Igual, la probabilidad de que salgan siempre esos es muy baja, por ejemplo, tras diez sorteos, la probabilidad de que no haya salido uno de los 2500 que sà juegan es bajÃsima, casi 0.05
Igual, la solución de Ramtia es excelente! Se puede ver que consiste en 'escribir' el número en base 54, y ahora sortear los dÃgitos para esa (quitando algunos, si, pero que ahora afectan a todos por igual).
Como ya dije, la matemática en general y esta rama en particular no son mi fuerte. Perdón si digo alguna burrada.
Nunca entiendo bien el significado de ese 0,05 que comentás.
Volviendo a la ruleta, a priori, es dificil que salgan 10 bolas rojas seguidas (entiendo que 1/1024) pero esto no nos dice mucho ya que en realidad 1/1024 es la probabilidad de cualquier combinación de 10 bolas. Es decir RRRRRRRRRR tiene la misma posibilidad que, por ejemplo RNRNRNRNRN o que RRNNRRNNRR.
Por otra parte, tanto en la ruleta como en este sorteo, la probabilidad de 10 tiradas consecutivas no nos dice demasiado ya que lo que importa en ambos casos es cada tirada en particular y en esta la probabilidad es siempre 1/2 en la ruleta y 1/4 en nuestro sorteo.
... digo yo...
está perfecto lo que decÃs, el tema es que en estos tipos de problemas, no te interesan las tiras de 10 juegos, sino las de N juegos, donde N-1 son el resultado 'negativo', y el último es el favorable. Porque la pregunta que te estás haciendo es ¿Cuál es la probabilidad de que en 10 juegos NO salga el resultado que quiero?
Por ejemplo, si sorteás en la ruleta a R y N, y estás esperando que salga R, las únicas tiras de 10 juegos válidas son NNNNNNNNNN y NNNNNNNNNR, las demás se hubiesen cortado al salir un R.
En otras palabras: sólo 2 de las 2^10 tiras de N y R pueden aparecer en este juego, las demás tienen probabilidad 0.
Peor aún, como la de 10 N no termina el sorteo, tampoco es un resultado posible, ya que seguirÃas sacando. Los sorteos que terminan el juego son:
R, NR, NNR, NNNR, NNNNR, etc., (son los únicos resultados posibles, esa es la parte que tal vez es difÃcil de entender)
El 1ro, tiene probabilidad 1/2; el 2do, 1/4; el 3ro, 1/8... y si sumás la serie, dan 1. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya salido R en los 10 primeros? Es 1 - (prob. de que salga en los 9 primeros) y eso es casi 1/1024!
(ops, habÃas preguntado por el 0.05, sale con el problema con éxito y fracaso de probabilidades 1/4 -que el número esté en los mas o menos 2500- y 3/4 -que no esté en los sorteados
Yo creo que con este método se podrÃa ser justo al momento de efectuar el sorteo.
1. Se puede utilizar cuatro tómbolas como las que se usan en la Lotto (también se podrÃa usar papelitos ennumerados con cuatro fundas).
2. En la primera tómbola se incluyen los #s 0, 1 y 2.
3. a) De salir 0, en las demás tómbolas se incluyen los #s del 0 al 9 sin problema alguno. De salir 3 0's consecutivos, se extrae el 0 de la cuarta tómbola para evitar que saliera el 0000.
b) De salir 1 en la primera tómbola entonces se incluyen los #s del 0 al 8 en la segunda, y en las otras 2 se incluyen todos los #s, o sea, del 0 al 9
c) De salir 2 en la primera tómbola, en la segunda colocarÃamos solamente los #s 0, 1, 2, 3, 4, 5. De salir 5 en la segunda, colocarÃamos los #s 0, 1, 2 y 3. Y de salir 3 en la tercera, entonces colocarÃamos los #s del 0 al 8. Si no se cumple los requisitos mencionados entonces se incluyen todos los números en las tómbolas restantes.
Creo que ésta serÃa la manera más justa y crearÃa confianza en el sorteo efectuado. Y la probabilidad de que cada boleto gane es 1/2438.
Ojo: este método es parecido al que mencionó Markelo anteriormente, con la diferencia que en vez de atrás para delante, se hace de la forma convencional.
Kino, me parece que el método que propones es el mismo que propone Markelo desde un principio... no veo la diferencia.
Primero felicitar a ramtia por su interesante/s solucion/es.
Pero me temo que todavÃa hay errores que pulir:
(número bombo 1)*54+(número bombo 2)
como dijo Juan Pablo es base 54 y entonces la cifra menos significativa (número bombo 2) debe ir del 0 al 53...
y el numero en base 54 va del 0 al 2537.
Luego habrÃa que sumar 1 al resultado.
Como también sugiere ramtia, al ser 54 divisible (54=2*3*3*3 = 6*9 según la propuesta de ramtia de 6 y 9 bolas), pueden usarse varias extracciones con menos bolas...
ej: 3*3*3*2 serÃa la expresión de tres extracciones de un número del 0 al 2 (es base 3), que se convierten en números del 000 (base 3) al 222 (base 3), es decir, del 0 al 26 (en base 10, aparece un amigo jeje). Y luego una extracción con 0 y 1 (binario, base 2)
binario*27+base3 = base54 (0 a 53)
El caso del 47, como cualquier otro número primo, significa que no puede descomponerse en extracciones más sencillas (bombos con menos bolas)...
Espero haberme explicado bien...
No he leido todas las ideas, solo algunas, pero todas van encaminadas hacia el mismo lado. Error en el sistema de sorteo y realmente no lo veo asi.
Y veamos pq, nº por nº dire que la probabilidad de que salga un 2 en los millares es de 1/3 igual que de un 1 o 0.
En el caso de que sea un 2, en las decenas los numeros posibles tb. tendran la misma probabilidad 1/5, si es un 1 todos tendran la misma probabilidad de salir 1/9 y si es un 0 1/10.
Asi que yo por mi parte veo un sistema justo.
Espero que alguien me saque del error....
Hola, hace poco encontre esta página WEB por primera vez y me gustó el tipo de club que han formado aquÃ, además de que me encantan este tipo de juegos. Felicidades!.
Con respecto al sorteo de los papelitos parece que todavÃa nadie ha logrado una solución justa o una en la que no se tenga que repetir el sorteo en el caso de que no exista el número que salió, por lo que propongo lo siguiente, que solo se requiere hacer una vez con la misma probablidad para todos:
Se forman tres grupos de papelitos el primero con los números 0 y 1, el segundo con los números del 0 al 22, el tercero del 0 al 52.
Se saca un papelito de cada grupo y se sigue la siguiente fórmula:
(papelito del grupo 1)*1219 + (papelito del grupo 2)*53 + papelito del grupo 3 + 1
En el caso de que de la fórmula anterior salga un número mayor o igual a 1900, se le sumará 100 más.
voy a estudiar esto creo es perfeto
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